2019年石狮九下质检试题倒一压轴（抛物线与直线交点及最值相关）

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2019年石狮九下质检试题倒一压轴

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【石狮二检】已知抛物线y=mx²+2mx+m－1和直线y= mx+m－1，且m≠0.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）试说明抛物线与直线有两个交点；

（3）已知点T（t，0），且－1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值.

【图文解析】

（1）配方，得y=m(x+1)²－1，得抛物线的顶点坐标为（－1，－1）；

（2）由抛物线两解析式y=mx²+2mx+m－1=m(x+1)²－1和直线y= mx+m－1=m(x+1)－1,得m(x+1)²－1＝m(x+1)－1,即m(x+1)²－m(x+1) ＝0,得(x+1)(mx+m –m)=0，即mx (x+1) =0,因m≠0,得x₁=0，x₂=－1,所以抛物线与直线有两个交点.

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（3）画出符合条件的草图（可利用第（2）小题的结论，得直线与抛物线的交点为（0，m－1）和（－1，－1），再任意取一个符合条件的m的值，画草图）.由T（t，0）得P（t，mt²+2mt+m－1）,Q(t，mt+m－1)

需分两种情况：

当－1≤t≤0时，如下图示.

PQ＝y_Q－y_P= …＝－mt²－mt

＝－m(t+1/2)²+m/4.

　此时PQ长的最大值为m/4，又0＜m≤3，所以m/4≤3/4.

当0<t≤1时，如下图示.

PQ＝y_P－y_Q = …＝mt²+mt

＝m(t+1/2)²-m/4.

由于m>0，得当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m，又0＜m≤3，所以0＜2m≤6，即PQ的最大值为6.

综上所述，PQ的最大值为6.

再次观察动画验证：

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