2019年晋江九下质检试题倒二压轴（与圆相关的计算与证明）

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2019年晋江九下质检试题倒二压轴

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【2019·晋江二检】在⊙O中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在⊙O上，连接AC、BC、BO、AO.

（1）求证：四边形AOBC是菱形；

（2）如图2，若点Q是优弧AmB（不含端点A、B）上的任意一点，连接CQ交AB于点P，⊙O的半径为2√3.

试探究：①线段CP与CQ的积CP×CQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；②求CP×PQ的取值范围.

【图文解析】

（1）图解如下：

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（2）①连接AC，通过两角相等，得△ACP∽△QAC，进一步，得CP：AC＝AC：CQ，得CP×CQ＝AC²＝OB²＝…＝12．

       连接AC和BD，通过相似，不难证明CP×PQ＝PA×PB，如下图示

配方，得

　　CP×PQ＝x(6-x)＝-(x-3)²+9．

　　其中0＜x＜6．

       当x=3时，同时当x=0或6时，PC＝0，所以CP×CQ的取值为0＜CP×PQ≤9．

【拓展】在第二问中，若点P在劣弧AB上运动（不与点A、B、C重合），直线CQ与直线AB交于点P，其他条件不变，如下图，线段CP与CQ的积CP×CQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

（注：陆续无任何条件分享相应的几何画板文件，获取方式与之前相同，也可打开文章“分享快乐(2)——分享了，才会真正感受到快乐”阅读说明）

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