矩形与动态问题（3）——中考备考系列[尖子生之路]

说明：

2.2019年中考数学答题需提前训练与适应的几点建议(同样适用于平时的期中期末月考等考试）

3.如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.

4.本人主编或编著的书的购买途径：扫描文章末尾的“微店”二维码，即可进店购买，如有团购可直接联系或留言“客服”！

5.输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……

矩形与动态问题（3）

——中考备考系列

---

【试题8】

问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：2S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD．（S表示面积）

实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A₁、B₁、C₁、D₁，得到矩形A₁B₁C₁D₁．

       如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD+S_{矩形A1B1C1D1}．

       如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S_{四边形EFGH}、S_矩形ABCD与S_{矩形A1B1C1D1}之间的数量关系，并说明理由．

结论是：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S_{四边形EFGH}=11，HF=根号29，求EG的长．

简析：如下图示：

（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=根号10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

       由上述结论可知，2S_{四边形EFGH}=S_矩形ABCD+S_阴．当S_阴面积最大时，四边形EFGH的面积最大，图形应是如下图示：

反思：解题的关键是充分利用题中探索所得到的图形条件和结论．

---

下面是本人主编或编著的书

(点击书名，可阅读相关书籍的编写说明、目录与样章)

---

【试题9】折纸的思考．

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．

（1）说明△PBC是等边三角形．

简析：如下图示，

由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，得到：PB=PC，PB=CB，所以PB=PC=CB，

因此△PBC是等边三角形．

【数学思考】

（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

简析：如下图示：

       先绕B点旋转得到△P₁BC₁，再以B为位似中心，进行放大使点C₁的对称点C₂落在CD上，得到△P₂BC₂.

（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．

解析：根据矩形长、宽和正三角形的边长不同，可分下列三种情形，其中特殊情况如下图示：

【问题解决】

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　cm．

解析：正方形的边长不变时，所得到的直角三角形的边长最大值，反之，当直角三角形的边长不变时，就是正方形的边长的最小值。——这个结论也可从前面的解题得到的相关结论中得到启发：即当直角三角形的三个顶点落在边上时，所需正方形铁片的边长最小。如下图示，

再由勾股定理，得：

(4x)²+(4y)²=4²,

所以(3y)²+(4y)²=4²，解得y＝4/5（负值舍去），得到4y＝16/5.

   反思，此题操作性强，思维量大，同时融入动态变化、分类讨论，旋转、相似等相关知识，需耐心细致地画出相应的图形才能准确得到相应的答案。

---

【试题10】如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

【图文解析】

（1）如下图示，      

（2）下面分两种情形求出m的特殊值.

①如下图示，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．

不难得到：CF＝DG＝根号7，进一步得到tan∠1＝（根号7）/7.

②如下图，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3；

【反思】解题的关键是充分利用特殊位置（极限点）解决问题，同时注意分类讨论的思想．

---

---

[相关文章]中考复习系列文章

---

---

中考压轴题复习教学体会系列

---

你的点赞和分享，就是给予我信心和动力！

关注本公众号，进入后，

输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.

输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.

输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）

您的点赞是对我的鼓励和肯定，

您的分享和转发是我坚持的信心和动力！

---

扫描下列二维码，关注本公众号