抛物线与相似（1）——中考备考系列[尖子生之路]

说明：

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抛物线与相似（1）

——中考备考系列

【试题1】如图1，图形ABCD是由两个二次函数y₁＝kx²＋m（k＜0）与y₂＝ax²＋b（a＞0）的部分图像围成的封闭图形，已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，－3）．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；

（3）如图2，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．

【图文解析】

（1）基础（常规）题，答案为：

y₁＝－x²＋1；y₂＝3x²－3．

（2）假设存在正方形EFGH满足条件，如下图示：

若设x_E=m(0<m<1)，根据抛物线的对称性和解析式，可得到：

 EF＝2m，EH＝y_E－y_H＝（1－m²）－（3m²－3）＝4－4m².

当四边形EFGH为正方形时，有EF＝EH，所以有4－4m²＝2m(0<m<1)，

所以图形ABCD存在内接正方形．

（3）由于C点与E点是对应顶点，且△BCD中的∠BCD为钝角，因此以E为顶点的∠AED也必为钝角，因此有以下几种情况：

以及上述点关于AD对称的点显然也符合题意．如下图示：

下面逐一分析：

情形一：

显然由DC:DB=DE₁:DA可求得DE₁＝2.5，所以E­₁（-0.5，0）.

情形二：注意到本题中的45⁰的角，再根据对称性，不难得到：

所以E­₂（1.5，－1）.

情形三：如下图示：

不难得到AE₃与y轴平行，且AE₃＝2.5（求法与情形一相同）．

所以E­₃（1，－2.5）.

情形四：类似于第二种情形的解法，

可得到：

所以E4（-0.5，-2）.

综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即（0，-0.5）或(1.5，-1)或(1，-2.5)或(-0.5，-2)．

【拓展与延伸】

若第三问改成：如图，连接BC、CD、AD，在坐标平面内，求使得△ADC与△BCE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．

提示：解题思路与原题类似.

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【试题2】（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1/2x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y=﹣x²+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

      ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1/2AM+CM的最小值．

【图文解析】

（1）简析：将点A（﹣4，﹣4）和B（0，4）代入抛物线的解析式y=﹣x²+bx+c，可得关于b、c的方程组，解得b=－2，c=4.所以抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+4；

 （2）当四边形GEOB是平行四边形时，先作出符合条件的图形，因点的顺序固定，所以答案只有一种，如下图示：

首先先由A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点用待定系数法求出直线AB的解析式，为y=2x+4.

      因E是直线AB上的动点，可设E（m，2m+4），如下图示：

得到EG＝y_G－y_E=(﹣m²﹣2m+4)﹣(2m+4)= ﹣m²﹣4m.

      当四边形GEOB是平行四边形时，EG=OB=4，即﹣m²﹣4m =4，解得m=﹣2，所以G（﹣2，4）.

【反思】若题中的条件“四边形GEOB是平行四边形”改为“以G、E、O、B为顶点的四边形是平行四边形”，则答案有多种。其余相关图形如下：

（3）①由已知条件，不难证明∠EAF＝90°，△AEF为直角三角形，所以当以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形时，只有一种可能是四边形AEHF是矩形（点的顺序固定），如下图示：

   首先先求出直线AB的解析式为y=2x+4.因E点在直线AB上的动点，所以可设E（a，2a+4），相应地F为（a，﹣1/2a﹣6）（因直线AC：y=﹣1/2x﹣6），

设H（0，p），

     如下图示，

   因EF是矩形AEHF的对角线，所以EM＝FM，得到M（a，3/4a-1）.

      同理，又可得到M（－2，－2+1/2p），如下图示，

所以a=﹣2，3/4a-1＝－2+1/2p.解得a=﹣2，p=﹣1.所以E（﹣2，0）．H（0，﹣1）.

②将与本小题无关的点与线（包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”），得到：

   半径＝AE的1/2（或AE＝半径的2倍），这与题目“求1/2AM+CM的最小值”中的1/2，显然有必然的联系．

      遇到1/2AM+CM常转化为通常的两线段和，进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”，根据题意，本题不宜用函数方法，同时因本题中的动点M是在圆上动，可经常通过“旋转相似”进行转化。

      为此，取半径EG（这条半径在OA上）的中点P，连接EM、PM，得到△MEP和△AEM，如下图示：

   此时，我们所需要的线段AE＝2×根号5，EM＝半径＝根号5，EP＝半径的1/2，不难得到：EM：AE＝EP：EM，又∠AEM＝∠AEM，所以△MEP∽△AEM，从而得到PM：AP＝相似比＝1/2，得到PM＝1/2AM，成功转化.

      “求1/2AM+CM的最小值”就转化为“求PM+CM的最小值”，由于P、C均是定点，且M点在⊙E上运动，根据“两点之间线段最短”（或三角形的三边关系），不难得到：当M落在PC与⊙E的交点上时，PM+CM最小.如下图示：

  因此，所求1/2AM+CM的最小值，就是PM+CM的最小值＝PC的长.

      前面已经证过∠CAE＝90⁰，同时：

      根据勾股定理，可得：

【反思】注意体会第3小题中的“1/2”的转化，其中“旋转相似”（动点在圆上动）、“平移相似”或“对称相似”是解决此类问题的常见方法．

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【试题3】抛物线y=ax²+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交与点M、N.

      ①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由；

      ②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

图文解析：

(1)将A、B两点坐标代入即可.答案为：.

(2)如下图示，设M(t，0)，则：

则PN=-0.6t²+4.2t.

①如下图示：

            通过联立抛物线与直线CD的解析式，不难得到：C(0，3)，D(7，7.2).

   再将PN=-0.6t²+4.2t和C、D两点的横坐标代入，得到：

 所以当t=3.5时，△PCD的面积最大，且为1029/40.

②由于∠BMP=∠CQN=90°，所以当CQ:NQ=BM:PM或CQ:NQ=PM:BM时，两三角形相似。

      添加如下图如示的辅助线：

      可以得到：

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【试题4】如图，抛物线y=(1/4) x²+(1/4)x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，15/2）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．

①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．

【图文分析】

（1）将C（6，15/2）代入y=(1/4) x²+(1/4)x+c得c=﹣3，所以抛物线解析式为y=(1/4) x²+(1/4)x－3，当y=0时，(1/4) x²+(1/4)x－3＝0，解得x=﹣4或x=3，所以A（﹣4，0）.

  再利用待定系数法可求得AC的解析式为y=（3/4）x+3.

（2）①如下图示：

 不难求得B（0，－3）、D（0，3），得到OB＝OD，又OA⊥BD，所以AB＝AD，从而得到∠1＝∠2.

      根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”和“对顶角相等”可得到∠3＝∠5.如下图示，

     因此，△APM∽△AON.

②如下图示，

   分别在Rt△AOB和Rt△AME中,由cos∠1＝AE/AM＝4/5＝cos∠2可得AM＝5/4×AE=5/4×(m+4)=5(m+4)/4，同时AP＝2m+4.

      如下图示，由上一题知△APM∽△AON，得到AN：OA＝AM：AP，进一步得到AN＝OA×AM/AP，将相关数据代入，得：

（显然本题用相似来解答也可）

      反思：本题为二次函数背景下的几何问题的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识，综合性较强．同时最后一小题含式的化简计算（有一定的计算量）．

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