2019年石狮九下质检试题倒二压轴（等腰三角形与相似、旋转）
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2019年石狮九下质检试题
【石狮二检】在△ABC中，AB＝AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α.
（1）如图1，∠BAC＝90°，α＝45°，试求点D到边AB，AC的距离的比值；
图1
（2）如图2，∠BAC＝100°，α＝20°，连接AD，BD，求∠CBD的大小.
【图文解析】
（1）画出符合题意的图形，不难得到如下图示的相关结论：
得△CDE为等腰直角三角形，
得m+n=√2n.得m=(√2－1)n，
所以m:n＝（√2－1）：1.
即所求的点D到边AB，AC的距离的比值为√2－1.
（2）由已知条件，不难得到：
所以40－x＝x+20.解得x=10.
所以∠CBD＝40－x＝30°.
法二：作△BCD关于BC对称的△BCE，如下图示：
易得△ACE是等边三角形，△ABE为等腰三角形.进一步，又可得到如下图示的结论：
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法三（林金钟老师提供）作∠ABF＝100°，交AD的延长线于F，AF交BC于点E，如下图示，不难得到：
继续思考：图中有多条线段相等，还可以用旋转或辅助圆解决问题，留给有兴趣的朋友们思考（有难度且繁）。
（注：第四次来南安，今天8点30分开始的在南安的第五场讲座，又能见到熟悉的朋友，兴奋的睡不着，写了这些内容，不能再写下去了，不能影响讲座，其他方法只能略去了！）.
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