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2019年福建省名校联合模拟试卷一第23题(等腰三角形与旋转)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年福建省名校联合模拟试卷一第23题


(注:受邀于昨天(4月21日)在南安进修校为这场考试做质量分析和今后教学思考的讲座,下面是这场讲座中的部分试题分析与思考)

【名校联考】在△ABC中,AB=AC=2,D是BC边上的动点 ,连结AD.

(1)如图1,若BC=3,∠ADC=∠BAC,求 CD的长。

(2)如图2,若BC=2√3,D是BC的中点,把△ADC绕点A顺时针旋转α度(0<α<60)后得到△AEF,连结BF,点G是BF中点。求证:△DEG是等边三角形.


【图文解析】

(1)常规题,如下图示,通过△ACD∽△BCA,得AC:CD=BC:AC,得AC2=CD×BC.

即22=CD×3,解得CD=4/3;

(2)由已知条件,易得如下图所示的相关结论:

下面证明△EDG是等腰三角形

下面再证:△EDG中有一个角为60°.

【法一】(繁)如下图示,

易得∠AFB=0.5[180°-(120°-α)],

∠AFC=0.5(180°-α),

进一步,得∠BFC=∠AFB+∠AFC=…=120°.

同时,由点G、D分别是BF和BC的中点,得DG是△BCF的中位线,根据中位线定理,得DG∥CF,且DG:CF=1:2.得∠DGF=180°-∠BFC=60°,如下图示,进一步可得到∠EGD=60°.

【法二】如下图示,

根据圆周角定理,得∠CBF+∠BCF=0.5∠CAF+0.5∠BAF=0.5∠BAC=60°,得∠BFC=120°,……(下同法一).

【法三】如下图示,由AB=AF和G是BF的中点,得AG⊥BF,又AD⊥BC,不难得A、B、G、D四点在以AB为直径的圆上.进一步,風∠DGF=∠BAD=60°,……

【法四】△ADE与△ACF均为顶角相等的等腰三角形,显然相似,且相似比为DE:CF=AD:AC=1:2,得到DE=0.5CF.又由中位线定理,得DG=0.5CF,得DG=DE,……(如下图,属于特殊的“旋转相似”)


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下面进行拓展与延伸:

【拓展1】当题中的旋转角为任意角时,如下图,结论如何?

【拓展2】如下图示,当△ABC为等腰直角三角形时,其他条件不变,则△DGE是什么三角形?

(结论:△DGE也是等腰直角三角形)

【拓展3】如下图示,当△ABC是一般等腰三角形(AB=AC),判断∠BAC与∠EGD之间的数量关系,并说明理由.


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