2019年中考压轴系列——福建第24题（圆与等腰三角形）

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2019年中考压轴系列——福建第24题

【2019·福建】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF．

（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；

（2）若AF＝10，BC＝4√5，求tan∠BAD的值．

【图文解析】

（1）法一：（直接证）

由AC⊥BD，得∠CAD＝∠EBC＝90°－∠1．

由AB＝AC，得∠BAC＝180°-2∠1＝2（90°-∠1）

所以∠BAC＝2∠CAD．

法二：根据“三线合一”，图解如下：

法三：下面证法稍麻烦，但对第二小题的解答很有帮助．

∠ADF＝180°-∠2＝180°-∠3＝180°－∠ABC．

∠ADC＝180°－∠ABC（圆内接四边形对角互补）．

得到∠ADF＝∠ADC．进一步地，有：

得△ADF≌△ADC，得AF＝AC，结合DF＝DC，不但可得△AFC是等腰三角形（与等腰三角形ABC还是全等的），∠CAF＝2∠CAD（“三线合一”），还得到AD垂直平分CF，从而：

∠BAC＝∠BDC＝∠CFD+∠DCF＝2∠CFD＝2∠CAD．

其他解法，这里略去．

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【试题再现】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF．

（2）若AF＝10，BC＝4√5，求tan∠BAD的值．

【图文解析】由题干和第一小题的证题思路，有以下结论：

解得x=4.从而BE＝8.

非Rt三角形满足三个条件（至少一个是边的条件）可解．

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进一步，可得到：

直角——垂直——高——面积，因此也可用下列方法求解上述结论：

下面通过构造Rt△，求解tan∠BAD．

如下图示，

由S_△ABD＝0.5AB×DH＝0.5BD×AE，得DH＝…＝6.6．

根据勾股定理，得AH＝1.2．所以tan∠BAD＝DH/AH＝…＝5.5．

下面添加辅助线的方法，与上述解类似．

本题解法较多，本质相同，都想方设法构造含与∠BAD相等的Rt△，再利用解三角的思路解决． 另：因∠BAD＝3∠BAM＝……，可构造(高中)角的和差求三角函数值的思路．

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反思：

1．法三给我们得到的结论是△ACF与△ABC是全等的等腰三角形．如下图示：

同时四边形ABCF是关于AC对称的图形．结合图形的特征，不难得到：不论要证什么结论，其解法均有“成双成对”的解法．

2．本题有多个基本图形，多条高，两个垂心，多个“四点共圆”，对角线互相垂直的四边形（三个）……这些基本组合，又可得到非常多有用的结论．

3．图中还有角平分线、三等分线、四等分线、有等弦；多个直角，自然就可得到多个相似或全等，与之相关的三角形或四边形等的知识内容与常用思路……

4．如果让圆上的点动起来，或两垂直相交的AC和BD的交点在圆外，则另有相关类似的结论……．

5．本题还可得到CF是圆O的切线，

6．实际上利用本题的条件，题中的所有相关的结论均可求出．

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