2019年福州九下质检试题倒二压轴（正方形与旋转全等）
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2019年福州九下质检试题倒二压轴
【福州二检】在正方形ABCD中，E是对角线上一点（不与点A、C重合），以AD，AE为邻边作平行四边形AEGD，GE交CD于点M，连接CG．
（1）如图1，当AE＜1/2AC时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．
①求证：EB＝EF；
②判断GH与AC的位置关系，并证明；
（2）过点A作AP⊥直线CG于点P，连接BP，若BP＝10，当点E不与AC中点重合时，求PA与PC的数量关系．
【原题再现】
（1）如图1，当AE＜1/2AC时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．①求证：EB＝EF；
【图文解析】
法一
法二（与法一其实是同一种思路）
法三
法四
法五
法六
其实本题方法远不止这些，一个“正方形”的条件有着太多太多“完美”的结论，足够让我们产生无数的联想，比如：可以通过旋转、对称、平移、建系、三角法（利用三角函数的定义）等，这里略去．有兴趣的朋友可以试试．
【原题再现】
（1）如图，当AE＜1/2AC时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．②判断GH与AC的位置关系，并证明；
【图文解析】
先梳理一下从已知条件和第1小题证明中得到的相关结论，如下图示．
法一
法二
法三
下同法二
【原题再现】（2）过点A作AP⊥直线CG于点P，连接BP，若BP＝10，当点E不与AC中点重合时，求PA与PC的数量关系．
【图文解析】
按点E的位置不同，显然可分为下列两种情况：
当AE＜1/2AC时．
当AE＞1/2AC时．
现将隐藏相关线段，即留下上述图中的粗线部分，可得到：
法一
当AE＜1/2AC时．
当AE＞1/2AC时．
结论：PA－PC＝10√2．
还原原图为：
法二
当AE＜1/2AC时．
当AE＞1/2AC时．
法三
当AE＜1/2AC时．
PA+PC＝√2b+√2a＝√2（a+b）
=√2PB＝10√2．
结论：PA+PC＝10√2．
还原原图及辅助线，如下图示：
当AE＞1/2AC时．
PA－PC＝√2b－√2a＝√2（b－a）
=√2PB＝10√2．
结论：PA-PC＝10√2．
还原原图及辅助线，如下图示：
法四
法五
PA+PC＝2PN＝2PT＝2√2PR＝√2PB
（另一种情况类似，这里略去）
法六
（另一种情况类似，这里略去）
其实还可以利用三角函数的定义来证明，但计算较繁琐，略去．
实际上，本题是一道课本例题的变式延伸，如下：
【拓展延伸】若将题中的正方形ABCD改为“菱形ABCD，且∠DAB＝60°”呢？
（只研讨交流，不做分析，有兴趣的朋友不妨试试，可以留言交流）
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