2019年宁德九下质检试题倒二压轴（等边三角形、矩形折叠与面积最值）

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2019年宁德九下质检试题倒二压轴

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【宁德二检】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′.

（1）若直线DA交BC′于点F，求证：EF=BF；

（2）当AE=（4√3）/3时，求证：△AC′D′是等腰三角形；

（3）在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．

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【法八】直接通过计算（不止下列方法，实际上本图中的任意线段均利用三角函数的定义求解，）

【法十七】建立坐标系——较繁杂，只做简单说明（以图中的A、B、C、D中的任意一点为坐标原点，建立相应的平面直角坐标系，均可通过计算相应的线段的解析式，再求交点坐标……）

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（3）问题再现：在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．

【图文解析】由于C’D’的长已经固定，只需求该边上的高最小即可．

由（2）的法八解析中可以发现，本题图的任意线段均可用AE的长表示，因已经不存在特殊角，虽其中的任意角的三角函数值可以用AE的长表示，但均繁琐，最理想的解法是：将C‘D’上的高进行转化求解。

【法一】如下图示：

由AN＝MN－AN＝6-AN，得当AN最大时，AM最小．当点E运动时，根据“垂线段最短“知AN≤AB＝4，所以AN的最大值为4，所以AM的最小值为6-4＝2，所以△AC′D′面积的最小值为1/2×4×2＝4．

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【法二】如下图示：

由于BA‘＝BA＝4为定值，当BA’+A’G最小时，A’G最小，根据“垂线段最短“知：当点A’落在BC上时，BA’+A’G最短，且等于BC＝6，所以A’G的长的最小值为6-4＝2．……

【反思】在特殊平行四边形的背景下，若有特殊角（含准特殊角，如75°，105°等）均可通过构造特殊的图形利用特殊角的相关性质可解（且有多种方法）．同时本题是在矩形且轴对称背景下，就有更多的相关结论，善于利用这些结论，可以快速求解。

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