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2019年宁德九下质检试题倒二压轴(等边三角形、矩形折叠与面积最值)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年宁德九下质检试题倒二压轴


【宁德二检】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AD边上的一个动点,将四边形BCDE沿直线BE折叠,得到四边形BC′D′E,连接AC′,AD′.

(1)若直线DA交BC′于点F,求证:EF=BF;

(2)当AE=(4√3)/3时,求证:△AC′D′是等腰三角形;

(3)在点E的运动过程中,求△AC′D′面积的最小值.


【法八】直接通过计算(不止下列方法,实际上本图中的任意线段均利用三角函数的定义求解,)

【法十七】建立坐标系——较繁杂,只做简单说明(以图中的A、B、C、D中的任意一点为坐标原点,建立相应的平面直角坐标系,均可通过计算相应的线段的解析式,再求交点坐标……)


(3)问题再现:在点E的运动过程中,求△ACD面积的最小值

【图文解析】由于C’D’的长已经固定,只需求该边上的高最小即可.

由(2)的法八解析中可以发现,本题图的任意线段均可用AE的长表示,因已经不存在特殊角,虽其中的任意角的三角函数值可以用AE的长表示,但均繁琐,最理想的解法是:将C‘D’上的高进行转化求解。

【法一】如下图示:

由AN=MN-AN=6-AN,得当AN最大时,AM最小.当点E运动时,根据“垂线段最短“知AN≤AB=4,所以AN的最大值为4,所以AM的最小值为6-4=2,所以ACD面积的最小值为1/2×4×24


【法二】如下图示:

由于BA=BA=4为定值,当BA+AG最小时,AG最小,根据“垂线段最短“知:当点A落在BC上时,BA+AG最短,且等于BC=6,所以AG的长的最小值为6-4=2.……

【反思】在特殊平行四边形的背景下,若有特殊角(含准特殊角,如75°,105°等)均可通过构造特殊的图形利用特殊角的相关性质可解(且有多种方法).同时本题是在矩形且轴对称背景下,就有更多的相关结论,善于利用这些结论,可以快速求解。


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