2019年莆田九下质检试题倒二压轴（等腰直角三角形与全等、相似、旋转）
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2019年莆田九下质检试题倒二压轴
【莆田二检】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．
（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；
（2）在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接CD，当△CDF为等腰三角形时，求tanα/2的值．
【图文解析】
（1）仅举一种解法：
（2）典型的等腰直角三角形的旋转问题，常有多种“旋转”法求解（本质类似）：
下面先分析：从已知条件，结合图形可以得到的结论：
①结论仍然成立．证明如下：
【法一】过点E作EM∥BC交BE的延长线于M，如下图示：
先证∠M＝∠CBD＝∠EDM，得EM＝DE＝BC，再证△BCF≌△MEF，得CF＝EF．
【法二】添加如下图所示的辅助线：
【法三】过C点作CM∥BF将ED的延长线于M，连接CM．如下图示：
【法四】过C点作CG⊥CF交BF于G．如下图示（其中∠CFG＝45°前面已证）
【法五】过点D作DG⊥DF交CF于点G，如下图示：
进一步，得∠AFE＝∠ADE＝90°．如下图示：
最后利用等腰三角形△ACE“三线合一”，得到CF＝EF．
【法六】过E点作EG⊥CE交BF的延长线于点G，如下图示：
【法七】过B点作BG⊥BF交EC的延长线于点G，如下图示：
得到∠AFB＝∠G＝45°，进一步得到∠AFB＝90°，即AF⊥CE，再根据等腰三角形“三线合一”得到CF＝EF．
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【法八】过C点作CG⊥BF于G，如下图示，不难证得CF：CG＝CA：CB＝√2：1．
进一步，得△BCG∽ACF，如下图示：
从而∠AFC＝∠BGC＝90°，下同……
【法九】由∠CFB＝∠CAB＝45°，利用“统一法”或“反证法”证明：A、B、C、F四点共圆，得到AC为其直径，得到∠AFC＝90°，进一步……（此法不建议）
【法十】添加如下图所示的辅助线．
同时，通过证明B、G、C、H四点共圆，可得∠GCB＝∠GHB．
另一方面，BF：BG＝AB：BH＝√2：1，且∠GBH＝∠FBA＝45°+∠FBH，得到△GBH∽△FBA，得到∠GHB＝∠BAF．
从而∠BAF＝∠GCB，进一步，得∠BAF+∠BCF＝180°．又在四边形ABCF中，∠ABC＝90°，根据四边形内角和为360°，得∠AFC＝90°，即AF⊥CF．……
【原题再现】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．在旋转过程中，
②连接CD，当△CDF为等腰三角形时，求tanα/2的值．
【图文解析】可以充分利用第二小题的相关思路和解法，进一步求解第三小题（本文仅提供一种解法）。
前面已经得到的结论：
当∠CDF＝90°时，如下图示：
所以tanα/2＝1/2．
当∠CDF＝90°时，如下图示：
【反思】上述第二问的多种解法，多数是充分利用45°的角的“特殊功能”，本质类似于旋转，显然本题还可以利用其他相关条件通过对称、平移、旋转等构造等腰直角三角形，也可以利用辅助圆等，大同小异，有兴趣的朋友不妨试试，并请留言分享。
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