纯函数相关综合(2)(2019版)——压轴系列[尖子生之路]
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纯函数相关综合(2)(2019版)
——压轴系列
【例题】已知二次函数y=mx2-4mx+3m.
(1)求该二次函数图象与x轴的交点坐标;
(2)若m<0,当1≤x≤4时,y的最大值是2,求当1≤x≤4时,y的最小值;
(3)已知P(2,(m+4)/2),Q(4,(m+4)/2)为平面直角坐标系中两点,当抛物线与线段PQ有公共点时,请求出m的取值范围.
【图文解析】
(1)设y=0,则mx2-4mx+3m=0,
∴m(x2-4x+3)=0.
∵m≠0,∴x2-4x+3=0.
解得x1=3,x2=1,
得交点坐标为(3,0)或(1,0).
(2)结合图象(如图示):
由于该二次函数的图象开口向下,且对称轴为直线x=2,得当x=2时,y取到在1≤x≤4上的最大值为2(即此时在顶点处),所以4m﹣8m+3m=2,解得m=﹣2,进一步得到函数解析式为y=﹣2x2+8x﹣6.
另一方面,由于当x=1或3时,y=0(即抛物线与x轴的交点),由抛物线的性质,得在1≤x≤4范围内,当x=4时,y在2≤x≤4内取得最小值﹣6(把x=4代入上述解析式求得).
(3)显然应分m>0或m<0,即抛物线开口方向向上或向下两种情况,如下图示:
从图中可以看出,需首先求横坐标分别为2或4时对应的抛物线的点的纵坐标,再与(m+4)/2进行比较即可.
当x=2时,y=4m-8m+3m=-m;当x=4时,y=16m-16m+3m=3m.所以有:
【拓展1】当m≤x≤4时,y的最大值是2,求当m≤x≤4时,y的最小值.
【拓展2】当m≤x≤m+2时,y的最大值是2,求当m≤x≤m+2时,y的最小值.
【拓展3】将第三问中的点P、Q分别改为(m,(m+4)/2),Q(m+2,(m+4)/2)呢?
【拓展4】将第三问中的点P、Q分别改为直线y=2x-4上的两点,且xP=m,PQ=2√5(点P在点Q的左边)呢?
【拓展5】将原二次函数的解析式改为y=(x-m)2+m-1或y=mx2-4mx或y=mx2+3m-6呢?
(上述问题只做研讨用,不给出答案)
【反思】画出符合题意的草图,结合函数的性质解题.
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