2019年莆田九下质检试题倒一压轴（抛物线与纯函数，多参数，计算说理）

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2019年莆田九下质检试题倒一压轴

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【莆田二检】函数y₁=kx²+ax+a的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），函数y₂=kx²+bx+b的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧），其中k≠0，a≠b．

（1）求证：函数y₁与y₂的图象交点落在一条定直线上；

（2）若AB＝CD，求a，b和k应满足的关系式；

（3）是否存在函数y₁和y₂，使得B、C为线段AD的三等分点？若存在，求a/b的值．

【题干解读】两函数的解析均特殊，结构完全一样，同时二次项系数相同，除了其图象的形状大小、开口相同外，显然还有其特殊的结论．简单整理，得：y₁=kx²+a(x+1)和y₁=kx²+b(x+1)．下面简单说明几个常见的　思路与结论：①当x+1=0(即x＝-1)时，y=k，即两抛物线均过（-1，k），即交点在直线x=-1上（也是本题的第1问）；②过交点（1，k）的任意一条直线与两抛物线的另一个交点坐标均可通过因式分解求解（即所得到的交点坐标不含根式）；③两抛物线可以通过平移得到，因此对应点间的距离（不限水平或铅直）恒等；④所有相关问题的解法均可通过特殊点的特殊位置着手求解（因此方法多种，本质一样），完全可以避开因求根公式（或韦达定理）带来繁杂的计算量……

【解析】

（1）题干解读中已有说明：也可如下证明：

联立两解析式，得kx²+ax+a＝kx²+bx+b，整理，并因式分解，得(a-b)x=-(a-b)．因a≠b，所以x=-1……

（2）问题再现：若AB＝CD，求a，b和k应满足的关系式；

【图文解析】由于A、B、C、D均为两抛物线与x轴的交点，由AB＝CD可知：两抛物线可以互相水平平移得到（重要！！！，题干中已有叙述），如下图示（仅其中的一种情况）：

因此可以选取任意特殊点进行解决本小题：

显然顶点、与y轴交点或者x=-1或x=-2等特殊点均可解决，但其中x=-1的点应是本题的最特殊点．下面就取x=-1的点：过两抛物线的交点（1，k）作x轴的平行线，

如下图示：

由题干知：两抛物线的交点为（-1，k）．

当y=k时，代入y₁=kx²+ax+a，

得kx²+a（x+1）＝k．

整理，得（x+1）（kx-k+a）=0．

x₁=-1，x₂=1-a/k．得x_E=1-a/k．

同理，得x_G=1-b/k．

显然E、G关于F（-1，k）对称，

所以（1-a/k）+（1-b/k）=-1×2．

整理，得a+b=4k且ab＜0（△＞0）

    若本题取顶点为特殊点去求解，计算量也稍大，当然本题也可以利用求根公式或韦达定理求得两根，再进行求解．

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（3）问题再现：是否存在函数y₁和y₂，使得B、C为线段AD的三等分点？若存在，求a/b的值．

【图文解析】

过两抛物线的交点（1，k）作x轴的平行线，

下图所给的仅a>b且B在点C的左边的情况．

  当点C在点B的左侧时，类似分析，这里略去，无解．……

本题的其他解法，这里略去．

【反思】特殊形式的函数解析式含有特殊点，必有特殊再特殊的多种解题思路．

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