纯函数相关综合（3）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（3）（2019版）

——压轴系列

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【试题】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C₁图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C₂的图象与C₁关于l成轴对称，则称C₂是C₁关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C₁的函数表达式是y=－2x²+2，点M是二次函数C₁图象上一点，且点M横坐标为m，二次函数C₂是C₂关于点M的伴随函数．

（1）若m=1，

①求C₂的函数表达式；

②点P(a，b₁)，Q(a+1，b₂)在二次函数C₂的图象上，若b₁≥b₂，a的取值范围为______．

（2）过点M作MN∥x轴，

①如果MN＝4，线段MN与C₂的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．

②如图3，二次函数C₂的图象在MN上方的部分记为G₁，剩余的部分沿MN翻折得到G₂，由G₁和G₂所组成的图象记为G．以A(1，0)、B(3，0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

【图文解析】

（1）①抛物线C₁:y=－2x²+2的顶点坐标为（0，2），当x=1，y=0．即当m=1时，M（1，0），如下图示，根据对称性，得抛物线C₂的顶点坐标为（2，2），同时抛物线的开口方向和大小与C₁相同，所以抛物线C₂的解析式为y=－2(x－2)²+2=－2x²+8x+6．

②法一：如下图示，若b₁≥b₂，则a的取值范围为a≥3/2．

法二：直接计算判断，依题意，得b₁-b₂=[－2(a－2)²+2]-[－2(a+1－2)²+2]=-4a+6．当b₁≥b₂时，-4a+6≤0，解得a≥3/2．

（注：尽管直接计算对于本题简单，但图象法是常法、通法，有着直接计算法无法替代的作用，务必掌握．）

（2）问题再现：过点M作MN∥x轴，

①如果MN＝4，线段MN与C₂的图象交于点P，且MP：PN＝1：3，求m的值．

【图文解析】

显然抛物线C₂的对称轴为直线x＝2m，由M、N的位置不同，需分两种情况，如下图示：

当m＞0时,2m=(m+1+m)/2,解得m=1/2;

 当m＜0时,2m=(m-1+m)/2,解得m=-1/2.

综合所述，m=1/2或-1/2．

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（2）②问题再现：

过点M作MN∥x轴，

②如图3，二次函数C₂的图象在MN上方的部分记为G₁，剩余的部分沿MN翻折得到G₂，由G₁和G₂所组成的图象记为G．以A(1，0)、B(3，0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．

【图文解析】

②当m=1/2时，如下图示，C₂的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，

当1/2<m<1时，G与正方形ABCD有三个公共点，

当m=1时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，

当1<m<3/2时，G与正方形ABCD有五个公共点，

当m=3/2时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，

当3/2＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，

当m=2时，G过点B(3，0)且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，

综上所述，当m=2或1/2<m≤1时，G与正方形ABCD有三个公共点．

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