2019年南平九下质检试题倒二压轴（圆与全等相似及45°相关）
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2019年南平九下质检试题倒二压轴
【南平二检】如图，OA是⊙O的半径，点E为圆内一点，且OA⊥OE，AB是⊙O的切线，EB交⊙O于点F，BQ⊥AF于点Q.
(1)如图1，求证：OE∥AB；
(2)如图2，若AB＝AO，求AF/BQ的值；
(3)如图3，连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos ∠PAB=4/5，求OP的长.
【题干解读】从AB是⊙O的切线，OA⊥OE，可得到：
图中有多个直角，联想到与“直角”相关的常用辅助线，在圆中又可联想到“直径”，如：
（下面的常用辅助线，对本题的解法相对麻烦，本文不解析）
【图文解析】
（1）【题干解读】中已有说明．如下图示．
（2）问题再现：若AB＝AO，求AF/BQ的值．
【法一】如下图示．
【法二】如图示．
由sin∠N＝sin∠BAQ，得AF/AN＝BQ/AB，得AF/BQ＝AN/AB＝2．
【法三】如图示．延长BQ至H，使QH＝BQ，连接AH，易证△OAF≌△ABH，……
（3）问题再现：连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos ∠PAB=4/5，求OP的长.
【图文解析】
可得∠POM＝45°，得OP＝√2OM．如下图示，进一步，得OM＝OAcos∠AOM＝OAcos∠PAB＝2×4/5＝8/5．
所以OP＝8√2/5．
【拓展延伸1】如图，若点E在过O点垂直于OA的直线上运动，OA＝AB，其他条件不变，则AF：BQ的值是否改变？说明理由．
【拓展延伸2】如图，若点E在过O点垂直于OA的直线上，点B在直线AB上，运动，若OA＝4，AB/OA＝x，求QF的长y与x的函数关系．
（上述问题只做研讨，不提供答案，可留言分享你的思路和想法．）
【反思】常见的基本图形的常用辅助线与思路熟练掌握和正确运用是解题的关键．
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