2019年厦门九下质检试题倒一压轴（纯函数，多参数，计算说理）

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2019年厦门九下质检试题倒一压轴

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【厦门二检】在平面直角坐标系xoy中，已知点A．若对点A作如下变换：

第一步：作点A关于x轴的对称点A₁；第二步：以O为位似中心，作线段OA₁的位似图形OA₂，且相似比OA₂/OA₁＝q，则称A₂是点A的对称位似点．

（1）若A（2，3），q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；

①当k=1/2时，判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点，请说明理由；

②若直线l与抛物线C交于点M（x₁，y₁）（x₁≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．

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【题干解读】理解题意（新定义）和位似的定义与性质，体会定义中的前后点的联系与特征，尤其是当q的值变化时，对应的A₂与A₁之间的变化规律（所包含的函数关系），下面给予动态演示其中的关系，请注意观察：

可以发现直线A₁A₂必经过原点，并且：

（1）问题再现：若A（2，3），q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；

【图文解析】如下图示：答案为（4，-6）或（-4，6）．

（ⅱ）而抛物线C的解析式中只含有一个参数m，二次项系数为定值-1/2，所以当m改变时，相当于抛物线平移，同时抛物线C的对称轴为x=m，顶点坐标为（m，-2+m²/2）．

另一方面，抛物线的解析式中的常数项为-2与直线l的解析式中的常数项相同．因此若直线l与抛物线C相交，则另一交点坐标可通过因式分解易求，即解的结果不会出现根式（本公众号已有多篇文章说明），如下：

联立抛物线C与直线l的解析式，得：

整理，得x(x-2m-2k)=0．

解得x=0或x=2(m-k)．

即抛物线C与直线l的另一个交点M的横坐标x_M＝2(m-k)．

（上述结论在最后一问的解答需要用到，而且恰好是解题的关键）

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问题再现：①当k=1/2时，判断E（1，－1）是否为点N的对称位似点，请说明理由；

【图文解析】当k=1/2时，由支题干解读知：N（2，-1）．(本小题计算量不大，也可直接求解点N的坐标，如下：当k=1/2时，直线l为y=x/2-2，此时y_N＝2k－2＝－1，代入直线l的解析式，得x_N=2，所以N（2，-1）．)

【法一】因点N关于x轴的对称点N₁（2，1），根据定义，N点的位似点应为(2t，t)(t为任意实数，用t代替q，避开分类)，进一步，得：N点的位似点应在直线y=x/2上（原点除外）．显然E（1，-1）不在直线y=x/2上，所以当k=1/2时，点E（1，-1）不是点N的对称位似点．如下图示，

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（3）问题再现：若直线l与抛物线C交于点M（x₁，y₁）（x₁≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．

【图文解析】

由【又题干解读】知：所以或．且抛物线C的顶点坐标为（m，-2+m²/2），直线l与抛物线C交于点M的横坐标x_M＝2(m-k)．

当m=2k时，代入直线解析式，得M（2k，2k²-2），此时时抛物线C的顶点为（2k，2k²-2），不合题意（点M不是抛物线的顶点），舍去．

当m=－k时，代入直线解析式，得

M（-4k，-4k²-2）．

此时抛物线的解析式为

点M关于x轴对称的点M₁（-4k，4k²+2）．

根据对称位似点的定义，得：点M的对称位似点为M₂（-4tk，4tk²+2）（t为任意实数，用t代替q，避开分类）．

当△≥0时，可得k²≤1/16．

（此时关于t的方程有实根，即存在t的值，符合题意）．

由k²≤1/16与k＜0，得-1/4≤k<0．

即当-1/4≤k<0时，点M的对称位似点仍在抛物线C上．

【动态演示】直观体会解题思路：

【拓展延伸】在最后一问的基础上，若直线l与抛物线C交于点M（x₁，y₁）（x₁≠0），且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点落在直线l上的点为R，连接OM，当△OMR为锐角三角形时，求k和m的取值范围．（仅供研讨，不提供答案）

【反思】理解题意，分析好题中各个参数的本质与之间的内在联系，综合利用相关知识思考问题，并大胆进行含参的数式运算是解决问题的关键．

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