2019年泉州九下质检试题倒二压轴（菱形与圆、最值相关）

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2019年泉州九下质检试题倒二压轴

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【泉州二检】如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C重合）对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G．

（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆⊙F，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接EF．

①求证：∠AEF＝∠DBC；

②记t＝GF²+AG×GE，当AB＝6，BD＝6√3时，求t的取值范围．

【图文解析】

（1）如下图示，⊙F就是所求作的圆．

（2）【问题再现】在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；

【图文解析】应该第一想到的结论：

由于所证的结论与圆有密切关系，同时△AEC的外接圆的圆心是F，FA＝FE（半径相等），因此要想方设法利用圆的相关定理进行联系．

【法一】

【法二】

【法三】

（法一至法三，本质相同）

【法四】作AM＝BM交BD于点M，如下图示，不难证得∠AMB＝∠BCD＝∠AFE，进一步，得∠AEF＝∠DBC．

（此法添加辅助线时虽然麻烦，但第三问的解决却是最快的）

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（2）【问题再现】在（1）的条件下，连接EF．②记t＝GF²+AG×GE，当AB＝6，BD＝6√3时，求t的取值范围．

【图文解析】由已知条件（AB＝6，BD＝6√3）的特殊性，也应该第一反应是：

【法一】由t＝GF²+AG×GE的结构特点，自然想到的是将t化简，其中式子的构成为线段的乘积形式，不难想到相似，如下图示：

通过两彩色部分的三角形相似，可得到AG×GE＝BG×GF，得t＝GF²+AG×GE＝GF²+ BG×GF＝BF×GF．同时，还可得到△EFG与△BEF相似，得到EF²＝BF×GF，如下图示．

所以t=EF²．

【法二】

通过△AQG∽△EQG，可证得AG×GE＝PG×QG＝（R+GF）（R-GF）＝R²-GF²，所以t＝GF²+AG×GE＝GF²+ R²-GF²＝R²＝EF²．

【法三】如下图示：

GF²＝…＝3a²+(a+b)²＝4a²+2ab+b²．

AG×GE=…=（2√3a+√3b）×√3b＝6ab+3b²．

所以t＝4a²+8ab+4b²=4(a+b)²

        = [2√3(a+b)]/3=AE²/3．

下面求t的取值范围

【法一】如图示，

（必须对“顶角为120°或底角为30°的等腰三角形”需特别敏感（常见结论），其结论是：底边＝腰长的√3倍．）

由于E点在BC边上运动，所以当点E与B或C点重合时，AE最大（为6）；当AE⊥BC时，AE最小（此时AE＝AB×sin60°＝3√3）．

因此t=AE²/3的取值范围为9≤t≤12．

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【反思】顶角为120°（准特殊角）的等腰三角形的三边关系能有感觉和感受，会给解题会带来极大的便捷．同样对150°，105°，75°、15°，22.5°、67.5°等也应该有所了解其中的相关特性．当然若本题不存在特殊角（或准特殊角），则解法与本文仍然完全一样．

【延伸】若将原第3小题中的BD＝6√3改为BD＝12，试试看！

【强调】上述法二分析中的结论仍然存在．

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