2019年泉州九下质检试题倒一压轴（二次函数与圆）

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2019年泉州九下质检试题倒一压轴

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【泉州二检】如图，二次函数y=x²+bx-3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2√3，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在点T的运动过程中，

①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

②若MT＝1/2AD，求点M的坐标；

（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．

【图文解析】

（1）直接将点B（3，0）代入y=x²+bx-3，即可求得b=-2，所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如下图示，图中的A、B、D点均为定点，不难求得A（-1，0）、D（1，2√3）、E（1，0）．在Rt△ADE中，由tan∠DAE＝DE/AE＝√3，得∠DAB＝60°．

①由圆周角定理，得∠DMT＝2∠BAD＝120°．即∠DMT为定值；

②如下图示，容易证得点F为AD的中点，且F（0，√3）．

由于△ADT的外接圆的圆心M必在线段AD的垂直平分线上，同时当半径MT＝1/2AD时，AD就是⊙M的直径，因此圆心M就是AD的中点F，即M（0，√3）（此时圆心M与AD的中点F重合）．

    也可用以下图形说明：当半径DM＝MT＝1/2AD＝DF时，F点必与点M重合．

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（3）如下图示，

可得H（a-1，0），T(2a-1，0)，即a-1≤x≤2a-1．又T点在射线EB上运动，得2a-1≥1，进一步，得a≥1．

下面分三种情况考虑：

情况一：当1-(a-1)≥(2a-1)-1（即H点与对称轴的距离大于或等于T点与对称轴的距离），且a≥1，即当1≤a≤4/3时，如下图示：

此时当x=a-1时，y_max=（a-1）²-2(a-1)-3=a²-4a．y_min=y_顶点＝-4．

此时当x=2a-1时，y_max=…＝4a²-8a．y_min=y_顶点＝-4．

情况三：当a-1>1时，y_max=（2a-1）²-2(2a-1)-3=4a²-8a．当x=a-1时，y_min==（a-1）²-2(a-1)-3=a²-4a．

综上所述，……

【反思】结合函数图象，注意分类讨论．分类时，不但要注意取值范围，更要注意对称轴对此函数值的影响．分类的本质就是根据x的取值受对称轴的（增减性）影响情况确定分类．

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