2019-2020福建莆田涵江区九上质检倒压轴解析——圆综合

2019-2020莆田涵江九上质检倒二压轴

【第24题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长. 【图文解析】
第一问连接OC，如下图解：下面是试卷中提供答案：
第二问
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长.【图文解析】
法一：如下图示：易证△CFD∽△AFB，得DF：BF＝CF：AF，即（10-AD）：12＝6：10，解得AD＝2.8．
法二：如下图示：可证得△ABC∽△ACE，得AB：AC＝BC：CE＝AC：AE，即10：8＝6：CE＝8：AE，解得AE＝4.8，AE＝6.4．如下图示，CD＝BC＝6，由勾股定理，求得DE＝3.6，所以AD＝AE－DE＝…＝2.8．法三：如下图示，易证AD＝2OM，设AD＝2x，在Rt△OBM和Rt△BCM中，由勾股定理，得BM²＝5²-x²=6²-(5-x)²，解得x=1.4．所以AD＝2x=2.8．
法四：（与法三类似），如下图示．由勾股定理，得BD²＝10²-m²=8²-(10-m)²，解得m=1.4．所以AD＝2.8．
法五：（注意基本图形）如下图示，由三角形面积公式，求CE＝4．8，由勾股定理，得t=3.6，进一步，得AD＝10-2t=2.8．
【拓展】如图，△ABC和△ACD均内接于⊙O，AB是⊙O的直径，连接AD，AC平分∠DAC的外角∠CAE，过C点作CE⊥AD于E点．
（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝4√5，AC＝4，求AD的长. （以上拓展仅供教研，不提供思路和答案）

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