张靖华——操作问题中的数学
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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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张靖华,中学数学教师，高级职称，中国数学学会会员，吉林市数学学会理事，中国数学学奥林匹克一级教练员.酷爱中等数学研究工作，曾在数学通讯、中学数学、数学学习与研究、数学教学研究、数学大世界等刊物上发表20余篇论文，代表作（处女作）《一对孪生命题的证明及推广》发表于苏州大学主办的《中学数学》1990年第3期.
张靖华(成志课堂数学组)13683591398
一．问题的提出
现实生活中存在这样一类数学问题，利用给定的条件，通过合理的操作得出能够实现或不可能实现预期结果的问题称之为操作问题，解法类同构造论证.
二．典型例题解析
例1已知7个相同的容器A,B,C,D,E,F,G分别装的水1/2,1/3,1/4,1/5,1/8,1/9,1/10,允许将一个容器的水全部倒入另一个容器或把另一个容器倒满为止.试问，能够在若干次操作之后，使得某一个容器恰好装有如下数量的水：（Ⅰ）1/12；（Ⅱ）2/45（Ⅲ）1/6.若可以，写出你的操作过程；若不行，说明理由。
个分数的和,163的个位数G(163)=3.而180,120,90,72,45,40,36的个位数为0,2,5,6,在180,120,90,72,45,40,36这7个数中,任取1～6个数，其和的个位都不可能是3，故（III）不能实现.
例2(I) 5枚棋子放在5×n的棋盘的某一行中，每个格子里都放1枚棋子，按如下规则操作：每次可以任选其中恰好2枚棋子，并将每个棋子移动到它的或左或右的相邻的格子里，能否经过有限次这种操作将所有棋子放在同一个格子里？（类似于特殊的罗汉塔）
(II)若将上面的5改为6呢？
解：(I)能.如下图表知进行三次操作即可将5枚棋子放到位置编号为的3格子里.
(II)不能．将6个位置从左至右编号为1,2,3,4,5,6．依操作规知每次操作保持所有棋子所在的位置编号之和的奇偶性不变．一开始所有棋子所在的位置编号之和为1+2+3+4+5+6=21为奇数，因而无论如何操作，所有棋子所在的位置编号之和始终为奇数，如果6个棋子能在同一个格子里，则位置标号之和为6k(k=1,2,3,4,5,6)偶数，前后矛盾，故不可能将6枚棋子放在6个编号相同的位置上．
评注：关注的是用定性的视角看位置编号之和的奇偶性，而不是用定量的视角看位置编号和的多与少.
例3老师在黑板上依次写了三个数21、7、8．现在进行如下操作：（1）每次将这三个数中的某1个数数加上2，另两个数减去1；（2）或一个数减去1，另两个数都加2，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：(I) 三个数都变成12？(II) 三个数变成21，13，14或23、15、19？
解法1：(I)三个数21、7、8，按题设操作规则三个数不可能都变成12，否则必存在自然数m,n,p,q,r,s,t
连续整数同时被3整除的矛盾,故其操作规则21、7、8不可能都变成12.
(II)三个数21、7、8按题设操作规则三个数可以都变成21，13，14或23、15、19类似(I)的解法有
解法2(I)依题意知每次操作后，三个数的和要么增加3,要么增加0,即每次操作后三个数的和增加3的倍数
设经过m次（1）种操作，和n次（2）种操作，将三个数都变成12，
若能实现,只能按（1）的方式进行操作，易知：无论z取什么自然数，操作的最终结果都是两个奇数，一个偶数；或3个奇数；或两个偶数，一个奇数，这与3个数都是偶数12矛盾.故不可能
(II) )依题意知：每次操作后三个数的和增加3的倍数，不妨设经过k次（2）种操作方式操作后，原三个数可变为21，13，14或23、15、19
两种方法各有优缺，前者构造直观，求解麻烦，后者求解简单，构造相对烦难.
评注：关注的是操作后三个数和的奇偶性，在变化的过程中找到不变的量（和的奇偶性）操作性问题可划归为构造论证问题，思维方式特殊，获解的难度大，趣味性浓，值得探究.
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