彭光焰——n•3°角三角函数式的求值

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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n•3°角三角函数式的求值

 湖北省广水市一中 （432700） 彭光焰

我们知道30°，45°，60°角各种三角函数值，90°角三角函数值存在的情况下也知道.利用两角和与差公式或者构造图形可出15°和75°角的各种三角函数值，当n>15时，可利用诱导公式求值.故本文只讨论n∈N且1≤n≤15，当n=5,10,15时已经解决.那么其余的怎么求呢？如sin3°,cos12°,tan27°等不查表是否可求出它们的值？答案是肯定的，要求出sin3°,cos12°,tan27°等值，关键在于求sin18°的值.在中学阶段，sin18°的值和特殊角的三角函数值一样，有着广泛的应用，我们必须记住它的值，并掌握其推导方法. sin18°求法一般有两种途径，一是构造方程，二是构造图形. sin18°的值求出之后，就可以利用有关三角公式求出3°，6°，9°，…，42°角的各种三角函数值.

方法一：构造方程

方法二：构造图形

构造顶角为36°的等腰三角形（这种三角形称为黄金三角形）可以求出sin18°的值.

在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，AE为BC边上的高.

∵AE为等腰三角形ABC底边BC上的高.

∴AE为顶角的平分线.

作者彭光焰往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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