彭光焰——n•3°角三角函数式的求值
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邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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n•3°角三角函数式的求值
湖北省广水市一中 (432700) 彭光焰
我们知道30°,45°,60°角各种三角函数值,90°角三角函数值存在的情况下也知道.利用两角和与差公式或者构造图形可出15°和75°角的各种三角函数值,当n>15时,可利用诱导公式求值.故本文只讨论n∈N且1≤n≤15,当n=5,10,15时已经解决.那么其余的怎么求呢?如sin3°,cos12°,tan27°等不查表是否可求出它们的值?答案是肯定的,要求出sin3°,cos12°,tan27°等值,关键在于求sin18°的值.在中学阶段,sin18°的值和特殊角的三角函数值一样,有着广泛的应用,我们必须记住它的值,并掌握其推导方法. sin18°求法一般有两种途径,一是构造方程,二是构造图形. sin18°的值求出之后,就可以利用有关三角公式求出3°,6°,9°,…,42°角的各种三角函数值.
方法一:构造方程
方法二:构造图形
构造顶角为36°的等腰三角形(这种三角形称为黄金三角形)可以求出sin18°的值.
在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,AE为BC边上的高.
∵AE为等腰三角形ABC底边BC上的高.
∴AE为顶角的平分线.
作者彭光焰往期文章链接
16.彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究
11.彭光焰:方法与过程并行 巧解与通解并重——也谈2013年重庆市高考理科考试说明样题第17题
10.彭光焰:巧用教材资源 命制高考试题 ——对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究
8.彭光焰:从“路径依赖”到“另辟蹊径” ———从几道三角题的解法谈起
7.彭光焰:全面理解 多方转化——一道分式函数最值问题的多角度审视
【作者简介】彭光焰,男,1989年6月毕业于华中师范大学数学系,正高级教师,湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”,湖北省优秀中学数学教师,湖北省骨干教师,湖北省教育科学研究学术带头人,享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家,随州市首批学科带头人,随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员,随州市高中数学学科核心团队成员,湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人,曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师,曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员,广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今,先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇,其中在核心期刊发表论文32篇,主持各级课题5项,参编高中数学教学用书6册,获地级以上教科研成果奖38项。
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