罗小明——导数中双变量不等式的解法探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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导数中双变量不等式的解法探究

湖南省益阳市牌口学校      罗小明

      纵观今年全国高考数学试题，导数中含双变量不等式问题又出现在我们的视野之中，新高考全国卷Ⅰ第22题第（2）小问就是含双变量极值点偏移的不等式证明.很多学生和老师都认为今年高考数学不会考有关极值点偏移问题，可事与愿违，恰恰考了这个知识点.因此，我们在复习备考中，最好不要留下知识盲区，在学生学习能力许可的范围内，对他们进行适当拔高很有必要.下面试举两例略谈导数中双变量不等式的解法与策略，以此抛砖引玉，希望对您今后的教学工作有所借鉴与帮助.

  一、含极值点偏移的不等式

点拨：此证法采取构造对称函数来证明.通过画出函数f（x）的图像可以发现函数f（x）的极值点x=1在（x₁+x₂）/2的左侧，此时极值点左偏移，构造其对称函数f（2-x）来证明问题.2021年高考全国卷Ⅰ压轴题第22题就可用此法来证明.

  二、含极点函数值不等式

点拨：①第（1）小问求f（x）的单调区间，因为导函数f′（x）的分母为正，所以它的正负性由分子的正负性来决定，分子是一个二次函数，画出其图像，分两种情况即抛物线对称轴在y轴左右两侧来讨论得出函数f（x）的单调区间.②第（2）小问是证明含极值点的双变量不等式问题，证明过程中采取韦达定理将含双变量目标函数f（x₁）-f（x₂）化为单变量函数φ（x₁），说明函数φ（x₁）在0＜x₁＜1/2时单调递减，求得端点函数值φ（1/2），即可获证.

证法二：利用求根公式化双变量为单变量

点拨：此证法是通过求根公式来化双变量为单变量.在证明过程中用到了换元思想来简化计算，构造新元t的函数，求得其导函数，判断新元t的函数的单调性，求得t的取值范围是解决问题的关键所在.

  证法三：万能“t”法

点拨：此证法是利用万能t法来解决的，与证法一的相同点是都用到了韦达定理来消元，巧用变量“1/(2x₁x₂)”代替常数“1”是此题证明的难点，也是证明问题的突破口，其它证法与证法二类似.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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