罗小明——例谈数列题型的解法与技巧

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例谈数列题型的解法与技巧

湖南省益阳市牌口学校       罗小明

    等差数列和等比数列是高中数学的核心知识点，与数列有关的各种题型都离不开它们作为命题的背景和依托.数列往往与函数、不等式、导数紧密相连，又相互渗透.在高中阶段考试中，数列问题不仅出现在客观题中，而且它还出现在综合题中.每年高考也不例外，我们年年都能看到它的身影.因此，学好数列是何等重要！下面略举几例，简单介绍解决有关数列问题的一些解法与技巧，供您参考.

一、求数列通项及与其相关的最值问题

方法与技巧：①第一种方法利用通项公式的定义来求解，解法中规中矩，属于通性通法；第二种方法先利用公差与通项及项数的关系公式“d=（a_m-a_n）/（m-n）”求得公差d，再利用通项与第二项或第六项的关系来求通项，这样避开了求首项a₁.②利用第（1）小问的结论，表示出1/a_n,然后得出S_n关于n的表达式，进而利用递推关系得出S_2n+1的表达式，二者作差得到一个关于变量n的函数式T_n，求得T_n的最大值，利用恒成立问题的方法可求正整数m的最小值.其解题技巧为把数列问题转化为函数问题，把函数与不等式有机融合起来.

二、有关数列的年份题

方法与技巧：①出现数列前n项和S_n与其通项a_n的递推关系式，往往需要利用这个关系式表示出它前（n-1）项和与项的关系，再用作差法得到项与项的关系式，然后从变形后的等式发现原数列是等差数列还是等比数列，从而解决其它问题.②数列通项中出现（-1）ⁿ的形式，往往需要对n进行奇偶讨论，这里所求数列{b_n}的2020项和，项数是偶数项，就不必分奇偶讨论.若将问题改为求n项和，则必须分奇偶讨论，否则解题就会不严密.

三、等差数列与等比数列的综合题

方法与技巧：①这里出现等差数列{a_n}的前几项的和S₂，S₄，它们的项数都比较小，可以不用求和公式来求和，直接利用项表示出来，很容易得出首项a₁的方程，这样求解对于基础一般的学生而言会易于接受.②第（2）小问又出现了与例2类似通项中含“（-1）^n-1”的模型，我们必须对项数n进行奇偶讨论，因此我们要时刻牢记分类讨论思想.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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