数学就是一场游戏：我们需要的是想法，而不是符号。
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如果孩子数学成绩不好，不用太焦虑，其实它代表不了什么，既不代表不聪明，也不代表学习能力不好……
先和大家分享我的一个故事：
那是我在英国读研究生的时候，刚入学没多久，老师在黑板上讲一道题，有一个 7×9的算式，我在下面随口答了一句 63，结果引来全班一片惊叹声。包括老师在内都用特别崇拜的眼光看着我，仿佛看到数学之神了。
英国一直没有乘法表和乘法口诀。2015 年，英国前首相卡梅伦和教育部长摩根两个人曾经想过在中小学生中推广乘法表和乘法口诀，结果遭到了媒体和学生家长的一致反对。
有一次卡梅伦在演讲的时候，突然有个人站起来问他：“8×9 等于多少？”卡梅伦当时张口结舌，目瞪口呆，因为他不知道 8×9 等于几。大家想想，一个英国的首相连8×9 都算不出来。
我是一个学渣，不是谦虚，是“官方认证”的。我在国内上中学的时候，150 分的数学考试，最低考过 27 分。而我因为很快算出了 7×9＝63，于是就第一次当了数学的学霸。
特别巧，没过几天我们就有一个测验。我是从来没有如此期待过数学考试，十多年来从来没有当过数学的好学生，终于有这个机会了，尤其还是在在国外，终于有了为国争光的机会。
到了考试那一天，老师把考题发下来，然后我发现一个特别奇怪的事——我所有的同学第一个动作就是从书包里拿出科学计算器。当时我就特别懵，因为我在国内上学的时候，计算器是不能在考试中用的。但是在英国学校里，计算器是一个必备工具。
所以我眼睁睁的看他们从书包里拿出计算器，而全班只有我从书包里拿出来的是一叠稿纸。最后的结果，可想而知，全班只有我没有答完题目，因为别人都是只要知道方法了，他们就可以用计算器非常快的算出结果，而我把大量的时间都浪费在了计算过程上。
最后在课程结束的时候我是唯一一个没有写完答案的人。
数学是一场游戏。
于是我开始反思，数学到底学什么？我们为什么要学数学？数学真的跟现实生活息息相关吗？我们学数学到底学的是什么？
大家都说中国的数学课程比国外的难很多，中国的基础教育扎实，中国学生的数学可以碾压国外学生。我反思的结论是： 我们数学课的问题不在于难度，而在于我们的数学课堂上压根就没有数学。
为什么国外学校可以容忍我们认为的特别低级的运算无能，但是他们却依然能够培养出那么多优秀的数学家？我们学数学究竟是学一种运算技巧，还是学一种数学思维？我反思的结论就是： 数学是一场游戏。
因为数学是可以脱离现实生活，在完全想象的世界里进行逻辑运算的东西，数学最大的骄傲，就是可以与现实生活完全无关。我们现在把数学公式都背得很熟练，把几何的原理背得很熟了，然后用不断地做各种各样的题。
这就相当于我们玩游戏的时候，我不让你体验游戏的过程，我只告诉你，摁前进，摁五下，然后跳，往左边走，然后打，最后到了关卡，你记住上上下下，左右左右，ABBA，你把这些都记住，然后一遍一遍去训练，就可以完成任务。
大家觉得这样的游戏还有意思吗？这还是游戏吗？游戏的目的不是结果，而我们看到的所有的公式，其实就是游戏的结果，运用得再熟练，也无助于我们体验游戏的精髓。
我们需要具备的，是独立的思考、有创造力的思考，我们最不需要的就是“被训练”。就如高斯所说： 我们需要的是想法，而不是符号。
数学的学习方式就像我们看电影或是看书一样，比如：
我们看《西游记》，我不告诉你唐僧为什么取经，他经历了什么事情，我就告诉你唐僧经过了九九八十一难，最后取回了真经，你要记住这八十一难都是什么，这个顺序还不能乱，最后考试的时候你要把每一难的名字答上去就算通过了。
大家觉得这样的阅读是正确的吗？如果大家觉得这样看书是不对的，为什么这样学数学就是对的呢？其实数学和所有的文学、艺术、影视作品一样，都是人类为了娱乐自己创造出来的。
而且它比我们所有的游戏，比如足球、篮球、和我们看到的所有电影都更自由。因为这些游戏非常依赖于我们这个现实世界的物理性质，而数学是可以完全天马行空的创造出一个世界来，那个世界的规则完全可以由你来决定。
你只要把你想要解答的题目的条件带入，使用一种严谨的推理，找出答案就可以了。这就是一个更加自由、更加考验创造力的游戏。
我们数学最大的问题，我们每个人都“隐约”记得一些公式和定义，但清晰记得我们对它们的“憎恨”！我说数学其实就是一种游戏，你可以在你想象的世界里去制定规则，考验你的创造力。
我们举一道“鸡兔同笼”题，相信所有的孩子都被考过这道题： 笼子里有鸡和兔若干只， 笼子里有 25 个头和 70 只脚，问兔子和鸡各有多少只？
我不知道大家是怎么做的题，我就记得我学这道题时，是在第一次学一元一次方程式，老师告诉我标准答案是——我们假设兔的数量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
鸡＝25－10＝15（只）
这么做对不对呢？肯定是对的。那这道题这么做好玩吗？肯定不好玩。“鸡兔同笼”其实有特别多的证法，我给大家举一个特别好玩的例子：
你想象一个世界，这一笼子的兔子和鸡就在这个想象的世界里，你站在这个笼子前面，一声令下，所有的动物都抬起一只脚，这个时候还有多少只动物站着？70－25＝45 只，还有 45 只脚站着。
你再一声令下，所有动物又都抬起一直脚站着，这时候还有45－25＝20 只脚站着，但是鸡已经一屁股坐地上了，因为鸡只有两只脚全抬起来了，那站着的全是兔子，这 20 只脚全是兔子的，所以兔子有 10 只，鸡就是 15 只。
这样解这道题就好玩，这道题还有很多种解法：
假设鸡也有四只脚，因为我们没有把它的翅膀算做脚，我们假设所有的鸡也有四只脚，那 25 个动物里面应该有 100 只脚，那为什么只有 70 只脚呢？
因为有 30 个（100－70＝30）翅膀没有算做脚嘛！那 30 个翅膀肯定就是鸡的了，所以就是 15 只鸡。
我们再举个例子： 长方形里面有一个三角形，问这个绿色的三角形面积和旁边蓝色三角形面积的比是多少？ 正常来说我们的标准答案是：
三角形的面积＝1／2×底×高
矩形面积＝底×高
这么一算矩形内三角形内和三角形外的面积比是 1︰1。这么解对不对呢？肯定对！那这么解好不好玩呢？肯定不好玩。我们来说另外一种解法，还是放到我们想象的世界里：
把它想象成一张纸，我们从三角形顶点向下画一条线，把它撕开，它变成了两个方形，每一个方形都被对角线分割成了一模一样的两个部分，也就是每一个方形里面绿色和蓝色部分的面积都是一样的，他们合起来的面积也是一样的，也是 1︰1。
我们再举一个例子： 直线上面有两个点，从左边这个点到达直线再到达右边这个点最短的距离怎么画？ 我们可以画出多种情况，但怎么才能画出最短的呢？最简单的方法是：
给右边的绿点一个镜像（也就是给它画一个关于直线对称的点）因为这个蓝点和与它对称的绿点对于这条直线的位置是一样的，所以从左边这个绿点到右边这个绿点，就可以转换成从左边这个绿点到右边这个蓝点。
两点之间最短的距离是一条直线，它与原来那条直线有个交点，这个点连上直线上面左右两个绿点的直线间距离就是我们要画的最短的距离。
我们可以不知道那些公式、定理，我们可以在我们想象的世界里把这些东西做的很有意思。这就是数学的意义，这就是数学训练的真正目的，不是训练什么计算能力，而是训练一种数学思维。
我怎么理解数学思维的呢？数学思维就是游戏思维，就是穷尽你的想象力去创造一个世界，然后用严谨的论证和逻辑推理去得到一个答案。是一种高度抽象并解决问题的能力。
数学思维给你的是重新看世界的一双眼睛，看这个世界的另外一种眼光。有的时候它可能跟我们对这个世界的直觉理解会比较大的的区别，举个例子： 大家觉得，自然数、偶数和奇数这三种数哪个数的数目多？
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 ……自然数
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 ……偶数
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19 ……奇数
我们从直觉上感觉偶数和奇数组合成了自然数，自然数自然比它们多。但是从数学角度来说它们三个数是一样多的，因为他们三个的数目都是无穷。
我们再举个例子： 一个屋子里有 23 个人，他们有两个人的生日是同一天的可能性大不大？
直觉来说我们出去坐公交车、去机场等经常会碰见很多人，但我们都不会觉得在这么多人里面会有两个人的生日一样。从数学的角度来说，在 23 个人的这个人群里，有两个人的生日是同月同日的概率超过 50%。
为什么？因为我们把每一个人的生日和另外 22 个人作对比，那它就是有 253 次对比的机会，在这 253 次对比中出现相同的概率是非常高的，这个就被称为“生日悖论”。
在计算机里面呢，有一种专门破解密码的方式叫做生日攻击，它的原理就是从生日悖论来的。我再举个悖论例子：
减肥，从某种数学的角度来说，减肥这个事是不可能的。因为想要减掉 10 斤，首先得减掉 5 斤，那想减掉 5 斤，就得先减掉 2.5 斤，想要减掉 2.5 斤，就先得减掉 1.25 斤。这个是无穷的对折，但人无法减掉一个无穷的数，所以减肥是不可能的。
就像龟兔赛跑。只要乌龟先跑，兔子就永远都追不上。为什么？因为兔子永远要到达乌龟之前到达的那一个点，那兔子只要到达那一个点，那乌龟就又往前移动了，所以兔子永远都无法追上乌龟。
我们知道这个在现实生活中是不可能的，但是大家想想，这一个一个的著名“悖论”，就是数学家在玩的一个一个游戏。
那应该要怎样锻炼数学思维？我觉得要把每一个数字都看成游戏中的一个元素。忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜欢的方法去求证问题，然后不断试错。
我总说数学是一个游戏，有证据吗？让我们回到数学的发端，毕达哥拉斯，人类最早的数学家之一，他生活在 2600 年之前。
他认为这个世界就是由数字支配的，数字是这个世界的真理，所以他对数字带有一种神性的膜拜，他给每个数字都赋予意义。比如他认为 1 是世界的开始，4 是完美，5 是婚姻等等。
虽然他对数字有这样神性的崇拜，但是他依然在拿数字做游戏。比如说，他给这些数字增加了很多的名称：
他认为 6 是一个完满数，因为这个数可以被 1、2、3整除，1 加 2 加 3 正好等于 6，所以他认为 6 这个数是一个完满数。10 可以被 1、2、5整除，1 加 2 加 5 等于 8，不到 10，所以他认为 10 就是个亏数。
他用这种做游戏的方式给各种各样的数字一些新的称呼。他还说： 朋友是你灵魂的倩影，要像 220 和 284 一样亲密。 220 和 284 两个数字有什么可亲密的呢？
因为 220 它可以被 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110 整除，这些数加起来正好等于 284。284 可以被 1、2、4、71、142 整除，这些数加起来正好等于 220。所以他认为 284 和 220 是一对亲和数，他们代表着友谊、爱情。
所以那个时候做徽章，就会刻着数字 220 和 284，表示我们之间是好朋友。
毕达哥拉斯之后出现了很多著名的数学家。
1667 年，法国有一个大法官叫费马，他是一个数学爱好者，他在《算数》这本书的某一页写了一句话，他说： 当 n＞2 时，a∧n+b∧n=c∧n，这个公式没有正整数解，对于这道题，我已经想到了一个美妙的证法，很可惜地方不够，没法写。
就这么一句话，困扰了数学家几百年，直到 1994 年，才最终验证。费马大定理的验证过程，就是整个数论的发展历史，这里边有太多熠熠生辉的名字，比如高斯、欧拉等等，还有很多好玩的故事。
比如沃尔夫凯勒，德国的一个数学爱好者，尽管他做生意很成功，挣了很多钱，但由于多次被苦苦追求的女孩拒绝，他很痛苦，准备自杀。自杀那天他列了一个计划——7 点干什么、8 点干什么……最后要在午夜 12 点钟声响起的时候，吞枪自尽。
他做事比较快，9 点钟就把所有事做完了，又不想放弃美感提前自杀，那干点什么呢？他就随手拿起了一本数学期刊，里面有一篇论文，是一个著名数学家验证另外两个数学家对费马大定理的验证是错误的，而且他推论费马大定理在现阶段是无法验证的。
沃尔夫凯勒在阅读中发现了作者的一个漏洞——使用了一个未经证明的公式，于是他就拿起笔开始对论文进行弥补。等他做了一整晚的验算，补足了论文的漏洞时，已经是第二天早晨了。
作为数学爱好者居然帮助一个著名的数学家补足了论文漏洞，他感觉生活太美好了，不再想自杀了，之后还捐出了 10 万马克，承诺奖励给在他死后 100 年之内，解决费马大定理的人。
最后完成了验证费马大定理的是安德鲁 · 怀尔斯，著名的英国数学家，他在1993 年的一次大会上宣布自己证实了费马大定理，但在一个月之内，被同行评议发现论文中有一个重大疏忽。在继续补足疏忽中，他一度想要放弃。
期间，他的太太一直在鼓励他，对他说：“我最想要的生日礼物，就是你对定理的最终验证。”安德鲁第一次发布有漏洞的论文是在 1993 年 8 月，他太太的生日是在 10 月，结果直到第二年的 9 月 19 日，他才最终真正完成了费马大定理的验证。
在太太的生日晚会上，安德鲁从楼上拿下来一叠稿纸交给他的太太，对她说：“我完成了费马大定理，我结束了困扰人类三百年的难题，这就是我给你的生日礼物。”看看，数学家也是很会煽情的。
安德鲁的最终证明写了足足一百页，后来就有人说费马写下那句著名的话“对于这道题，我已经想到了一个美妙的证明法，但是很可惜地方不够，没法写”的时候，其实并没有真正验证这个猜想的能力。
因为现在看到的最终证明里，用到了很多费马去世一百年之后才发明的数学模型和公式。其实费马大定律就是费马自己想出来的一个数学游戏，很多的数学家来一起玩儿，而数学的发展就是由一个又一个的游戏来推动的。
如果我们要强调数学到底在我们现实中有什么意义，那可以说，数学思维让我们有更理性地思考，更有逻辑地分析，能够用另外一种眼光来看这个世界。最起码，它能让我们少上一些当，能让我们看穿一些初级骗局。
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