解析几何内容剖析及备考建议

助力高考妙解之慧 2022-08-05

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解析几何是高中数学的重要内容。高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。

运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。

一、直线与方程

1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．

4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两

点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．

5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间

的距离．

二、圆的方程

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能

根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．

3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。

4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

三、空间直角坐标系

1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。

2．会简单应用空间两点间的距离公式。

四、圆锥曲线（理科）

1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界

和解决实际问题中的作用。

2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几

何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的

简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．

4．了解曲线与方程的对应关系。

5．理解数形结合思想。了解圆锥曲线的简单应用。

四、圆锥曲线（文科）

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范

围、对称性、顶点、离心率）．

2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单

的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．

3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何

性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．

4．理解数形结合思想。了解圆锥曲线的简单应用。

解析几何主要考查直线与方程、圆与方程、圆锥曲线等内容. 解析几何试题基本保持为两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分.

选择与填空题常有一道较低起点题，另一道则为较难题或者压轴题. 小题和解答题的第（1）问侧重考查圆锥曲线的定义与基本性质；解答题的第（2）问，尽管可能有多种不同的呈现形式，但总离不开直线与圆和圆锥曲线的位置关系这一本质的模式或套路，且文科较多考查直线与圆的位置关系，理科较多考查直线与圆锥曲线的位置关系，也有考查圆与圆锥曲线的位置关系问题。

综观2017和2018年，文科仍保持传统做法，理科从2017年起、文科2019年的小题却已淡出较低起点题，基本定格为中等偏难和难题。

2018年、2019年理科解答题由20的题位前移到19的题位，而2019年文科解答题后移到21的题位，这一位置的变化必将影响相对难度的调整，使得解几解答题终将成为决胜高考的重要增分点，应切实引起关注！

由于解析几何蕴含丰富的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等），所以通过其试题，可以有效检测直观想象、数学运算、逻辑推理以及数学抽象和数学建模等数学核心素养．

在提升学科关键能力上以运算求解能力和抽象概括能力为重点，着力发展数学运算与直观想象等核心素养，彰显解析几何独特的分支教育价值以落实学科教学的立德树人根本任务．

圆的问题主要是定义和性质；圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程、曲线性质（焦点、离心率、准线、渐近线）；综合性问题主要是位置关系、范围、面积、定点、定值等。

解析几何试题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，虽然解析几何中有一些基本问题，但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，需要考虑对条件进行适当的转化．

解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质；解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性．

解析几何对学生良好的学习习惯的养成提出较高要求，对自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算的能力也提出较高要求．

在解析几何问题中，圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点．

圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活．

如，已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义等．

强化作图意识，有时只要把握住图形的主要特征画出示意图形、有时科学规范地画出比较准确的图形是研究几何问题的基础，作图的过程是读题、审题理解题意与探究解题思路的过程．

解析几何的试题，小题难度有所增加，解答题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降（特别是2019年理科解答题的位置前移导致的难度下降更为明显），但突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法．在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法．

解析几何题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题目对推理论证能力要求高，所以在高三复习中，要在狠抓落实上下功夫，既要注重基础，又要有所创新提高，既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼，要做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算。

解析几何的学科特征是“算”。它的第一步是把几何条件转化为代数语言，其中的桥梁是三个公式：与线段长度有关的，用距离公式；与线段比有关的，考虑用向量进行转化；与角有关的，尝试斜率公式。

一经转化，解析几何问题就成了方程或者函数问题。诸如，讨论一

元二次方程根的情况，求代数式的最大值或最小值，等等。由此，函

数的解题诀巧，同时也是解析几何的解题诀巧。

解析几何难就难在运算上，而能力恰恰体现在如何简化运算上。解

析几何的解题诀巧主要表现在如何选择合理运算的路径上。

本题涉及了三种运算：坐标、向量和运用几何性质推演，如何选择？依据的，都不是逻辑的必然性，而是合情推理。这就是诀巧！

我们说，解析几何难在运算。我们被运算所困的原因往往是：只是埋头运算，没有抬头观察。

其实，在运算的每一个转折点，我们都应该抬起头来，观察一下式子的结构和图形的特征，预测一下我们应该前进的方向。在所有这些思考中，合情推理都起着不可替代的作用。

解析几何研究的对象与方法，是在平面直角坐标系中，用代数方法解决几何问题，通过对二元一次或二次方程的研究，刻画直线或曲线的相关几何性质。

在主观试题中，多以直线与曲线的位置关系为背景，借以考查其定义、性质，考查变式水平与运算能力，考查综合应用能力，考查数形结合、方程与函数、化归与转化、分类与讨论等数学思想及方法．