密克点训练题1-2013USAMO/1

牛肉如约而至

今天给大家搞来一个题目, 其实本来题目是不难的, 但是怎么拐弯抹角的给自己找别扭倒是很难的, 涉及到前几天龙崎钢老师发给我的一个好东西"Advanced Lemmas in Geometry", 请大家期待一下龙崎纲老师的翻译作品出炉.

有同学问我, 为啥数学竞赛的日常只有几何, 来来来, 今天搞个不一样的几何...解法

题目标签: 比值类-密克点+导角-2013USAMO/1

知识储备: 三角形的密克点

先放题目:  (两种证法!)

中, , , 分别在边, 和上, 记, , 分别为, , . 已知线段与, , 分别交于, , . 求证.

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证法一:

本题点出密克点之后, 剩下证明相似即可(这里顺便证明一下密克点)

设与交于另一点,

则

故, , , 四点共圆;

观察与

故,同理

因此根据相似对应知原题证毕!  

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证法二:(Linearity of PoP引理)

带来证法二之前先证明一个引理:

引理: 记为点到圆的圆幂与到圆的圆幂的差, 则点与线性相关;

引理的证明(建系更好说明): 设与分别为, 的圆心, , 分别为其半径. 设,

则

这显然是与, 的线性相关的.  

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回到原题, 先精彩的选取两个圆:

设为点到圆与点圆的幂差,即;

注意到共线, 且

,

, 故证毕!  

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没见过世面的我啊...感觉方法二真神奇, 我琢磨了一下午怎么用幂差线性相关来做这个题, 看来这种方法关键是在于两个圆的选取..有见过世面的, 欢迎留言交流啊~

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