内心训练题8-2009IranTST

淦！今晚必更！

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题目标签: 平分类-内心+垂心+垂直-2009IranTST

知识储备: 调和+基本定理

先放题目:

△ABC中DEF为三边切点, I为内心, M为D在EF上的投影,  P为DM中点, H为△BIC的垂心, 证明: HP平分EF.

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剖析一下该题:

利用内心训练题1作为引理, 已经忘了内心训练题1是啥的, 请转到:

链接

回到原题:

设CI与EF交于G, BI与EF交于Q,

则根据引理知HGB共线且HQC共线.

∠IGB=∠IDB=∠IFB=90°,

故GFBDI五点共圆.

设HD与EF交于K, EF中点为J,

注意到∠HGK=∠FGB=∠BGD, 结合IG⊥HB

则(H,I,K,D)为调和点列.

即(HK/HD)=(IK/ID)

IJ⊥EF, 得IJ∥MD, 故(KI/ID)=(KJ/JM)

故(KJ/JM)·(MP/PD)·(DH/HK)=1

由Menelaus逆定理知, HJP三点共线.

证毕!

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三个环节, 都还挺重要的, 引理+Menelaus+共圆都挺重要的;

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