北师大版八上数学5.2 求解二元一次方程组 知识精讲

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知识点总结

代入消元法

代入消元法的实质是将二元一次方程组中的某一个方程进行未知数的分离，即将该方程进行变换，完整分离出一个独立的未知数，而这个未知数将用含有另一个未知数的式子来表示。设某二元一次方程组为：

将第（1）式进行变换可得：

（3）式代入（2）式得：

这样我们便得到了一个一元一次方程，容易解出其解为：

将其代入原方程组，即得该方程组的解为：

加减消元法

若将上述方程组中的（1）式乘以b2，（2）式乘以b1，则方程组变成：

通过观察我们发现（6）式和（7）式中含有 y 的系数相同，那么(6)-(7)可将 y 这个未知数消除，于是得到只含有一个未知数 x 的方程：

解这个方程得到：

将其代入原方程组中的任一个，即可得出如（5）一样的解。

行列式法

在谈到这种解法时，我们要先知道一个定义，即什么是行列式，以及行列式的值怎么求，由于解二元一次方程组只用到二阶行列式，而二阶行列式的值又极容易求得，下面我们给出二阶行列式的定义，即如下形式排列的式子叫做行列式，它的值由等号后面的式子进行计算：

观察（8）式，我们发现这个行列式的求值方法是对角线之积再做差即得。

下面我们给出用行列式解二元一次方程组的步骤：

1、先将二元一次方程组写成如（1）（2）式的标准样子；

2、将这个二元一次方程组的未知数系数写成如（8）式一样的行列式并求得其值，该值将做为两个未知数对应的值的分母；

3、当计算x值时，将（8）式中原 x 的系数换为对应式子常数项的值，继续求行列式的值，该值即为  x 对应值的分子；y的求法同理。

写成式子会更明白：

有兴趣的同学可以用实际的方程代入进行验证该结果。

二元一次方程的计算机解法

在采用Sympy来解含有小数的一元一次方程这篇文章中，我们已经学过了python中的sympy这个软件包解方程的强大功能，在这里，我们再次展现一下它的威力，首先将方程组中每一个方程均写成右侧0的格式，然后将它们定义成一个列表，最后调用sympy中的solve来解方程，代码如下：

通过上述代码运行结果，我们可以看出计算机解算出的答案和我们的答案完全一致。（只是在用计算机解算时，需要将方程组中的每一个方程均写成右侧为0的形式，细心的同学自然能发现这一点。）

小结

本文总结了二元一次方程的三种常规解法以及如何利用计算机进行解方程组的方法，但方法只是前人在大量的解算基础上总结出的规律，具体到每一个不同的方程，都需要具体去分析用何种方法更方便，而这就要求同学们对于各种方法都必须了如指掌才行。

三元一次方程的解法也同样是利用代入或加减消元将其降维为二元，然后继续降维为一元，待解出答案后，再反推其余的解，这种思维方式正是我们在解决问题中常用的一种思维，即降维思维。

在大量的习题中，我们将来还会发现这样一个规律，即有些应用题可以用一元方程去做，也可以用二元方程去做，甚至还可以用算术方法去解答，通过比较这些方法我们可以发现：设的未知数较多，则式子看起来更明显，式子本身即成了对题目的直接数学翻译；但未知数较少或是没有未知数只用算术方法求解，则式子本身便含有相当复杂的意思，甚至已经无法从式子来看出原题目的意思了。

事实上，将现实问题翻译成数学问题后，我们便完成了第一步抽象，而后我们所有学到的知识便是在数学的框架内进行，倘若推迟这第一步抽象，直接用思维去对接实际问题，那只是还停留在较原始的阶段，然而较原始的阶段并不意味着简单，事实上，越是原始的东西，越是难以理解，这是人类本身思维的局限，也正是人类中伟大的学者们认知到这一点，所以他们才创建了各种各样现在看起来高级的知识，而这正是将那些实际问题简单化处理的方法，这一点，请同学们在日后的学习中仔细体会。

解法步骤

1、变形。两个方程，首先分别变成，未知数在左边，常数在右边的形式。如果同一个未知数的系数，既不互为相反数，又不相等，那么就方程的两边同时乘以适当的数，一般是同一个未知数的不同系数的最小公倍数，使同一个未知数的系数互为相反数或者相等。

2、加减。将变形后的两个方程相加，或者相减，消去一个未知数。得到一个一元一次次方程。

3、求解。解这个新得到的一元一次方程，求得这个未知数的值。

4、回代。把这个求得的未知数的值，代入原方程组中的任意一个方程，求出另外一个未知数的值。

5、做结论。把求得的两个未知数的解，用大括号联立起来，这就是原方程组的解。

教学设计

【教学目标】

1.会用代入消元法解二元一次方程组

2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归

思想,从而“变陌生为熟悉”

3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想

【重点】用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元.

【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉.

【教学过程】

一、引入

上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组     x-y=2         ①     到底谁的包裹多呢?

             x+1=2(y-1)     ②

这就需要解这个二元一次方程组.

二、一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?

我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：

由①得y=x-2

由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样就得到大家会解的一元一次方程了.

三、做一做

我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做

例1、解方程组    3x+ 2y=8        ①

                   x=        ②

  解：将②代入①,得3(y+3)+2y = 14

3y+9+2y=14

5y =5

y=1

         将y=1代入②,得x=4

所以原方程组的解是      x=4

y=1

 例2、解方程组    2x+3y=16      ①

                   x+4y=13       ②

教师先分析：此题不同于例1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢? 请同学回答

(应先对②式进行恒等变化,把它化为例1中②式那样的形式.)

分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演

解：由②，得    x=13-4y         

   将③代入①，得2(13-4)S+3y=16

                 26-8y+3y=16

                 -5y=-10

                y=2

   将代入③，得  x=5

所以原方程组的解是   x=5

y=2

四、议一议、

上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。主要步骤是：①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式。③解这个一元一次方程。④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。

五、练一练、

1、已知x+3y-6=0，用含x的代数式表示y为              ，用含y的代数式表示x 为

                .

2、书本P188随堂练习

六、小结、

1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？

2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元

3、解题步骤概括为三步即：①变、②代、③解、

4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=？y=？

5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。

七、作业、

1、已知    x=1   是方程组    ax+by=2   的解，则a、b的值是多少？

           y=1               x-by=3

2、若方程组  4x+3y=1       的解x与y相等，则a的值是多少？

              ax+(a-1)y=3

教后感：本节课是利用小组合作探讨学习,使学生正确掌握用代入消元法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想.

§ 5.2  求解二元一次方程组（二）

一、教学目标设计：

1.了解并会用加减消元法解二元一次方程组。

2.了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。

3.初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性。

教学重点和难点：

二、教学重点：

1.会用加减消元法解二元一次方程组。

2.会用加减消元法解二元一次方程组。

三、教学难点：

掌握解二元一次方程组的“消元”思想。

四、教学过程设计：

1、创设情境：

怎样解下面的二元一次方程组呢？ 

分析：观察方程组中的两个方程，未知数y的系数互为相反数，把这两个方程两边分别相加，就可以消去未知数y，得到一个一元一次方程；

    （3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝21    +  (－11)

             ①左边 +   ②左边 = ①左边 +   ②左边

                  3X+5y +2x － 5y＝10

                          5x+0y ＝10

5x=10 

解:由①+②得: 5x=10

x＝2

把x＝2代入①，得

           y＝3     

所以原方程组的解是 

2、探索尝试:

参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？

例1 解下列方程组．

分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．

解：把 ②－①得:8y＝－8

y＝－1

          把y ＝－1代入①，得

            2x－5╳（－1）＝7

解得:x＝1                                   

所以原方程组的解是 

3.随堂练习:

指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：

解:①－②，得                     解　①－②，得

　　－2x＝12                           2x＝4－4，

　　　x ＝－6                            x＝0

正确的解是：

解:　①－②，得                   解:　①＋②，得

　　8x＝16                               2x＝4＋4，

　　　x＝4                           　　　x ＝2        　　

4.议一议:

上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？

这些方程组的特点是同一个未知数的系数相同或互为相反数

这类方程组基本思路：加减消元----二元---- 一元

主要步骤：

加减----消去一个元

求解----分别求出两个未知数的值

写解----写出方程组的解   

5.做一做

例2．用加减法解下列各方程组

分析：(1)用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就可先消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数，通过变形使其绝对值相等，再进行消元．

(2)运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质2来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已经相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件．

①×3得6x+9y=36 ③

②×2得6x+8y=34 ④

③-④得y=2

把y ＝2代入①，得

           解得:x＝3

所以原方程组的解是 

说明：1．加减消元法的依据是等式性质1，即在一个方程左右两边分别加上或减去另一个方程的左右两边，所得的结果仍是等式．经过这样的运算，其中一个未知数被消去了，原来的“二元”化为“一元”，转化为一元一次方程，从而可求出原方程组的解来．

2.对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准的二元一次方程组后再消元

5.试一试: 运用加减消元法解下列方程组： 

                                               （3） 

6.探索与思考：在解方程组 时，小张正确的解 ,小李由于看错了方程组中的C得到方程组的解为 ，试求方程组中的a、b、c的值。

7.小结 ：

加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？

加减消元法解方程组基本思路：加减消元----二元---一元

主要步骤有：

变形----同一个未知数的系数相同或互为相反数

加减----消去一个元

求解----分别求出两个未知数的值

写解----写出方程组的解   

8.作业

教后感：1.本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 

图文导学

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