北师大版九上数学4.4 探索三角形相似的条件 知识点精讲
扫码查看下载 全部资源 |
知识点总结
知识链接
定理：两角分别相等的两个三角形相似。
符号语言：如图，在△ABC和△A’B’C’中，如果∠A=∠A’，∠B=∠B’，那么△ABC∽△A’B’C’.
【注】两角分别相等的两个三角形相似是判定三角形相似最常用的方法。应用时要注意发现题目中隐含的条件：公共角、对顶角、同角的余角（或补角）相等等。
典例分析
典例1
如图,在△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有 对。
【分析】由∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠ACB=∠ADC=90°，因为∠A=∠A(公共角)，根据两角分别相等的两个三角形相似可证得△ABC∽△ACD,同理△ABC∽△CBD,由相似三角形的传递性可得△ACD∽△CBD，故图中有3对相似三角形。
典例2
【分析】由AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE（对顶角相等），即可证得△ACD∽△BCE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
【解答】
典例3
如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且.
求证：△EBF∽△FCG.
【分析】先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用同角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．
【解答】
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG（同角的余角相等），
在△EBF和△FCG中
∠B=∠C=90°
∠BEF=∠CFG
∴△EBF∽△FCG（两角分别相等的两个三角形相似）.
拓展提升
如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F.
(1)证明：△ABD∽△DCF；
(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形。
【分析】
（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；
（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．
【解答】
（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60∘，
∴∠1+∠2=120°，
∠DFC+∠2=120°，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
(2)∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△AEF，
故除了△ABD∽△DCF外,图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF,△ABD∽△AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
习题训练
如图,在△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D.
(1)求证：AB2=BD·BC
(2)求证：AD2=BD·DC.
定理：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：在△ABC和△A\\\\'B\\\\'C\\\\'中，
【注意】应用“三边成比例的两个三角形相似”是要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边。
典例分析
如图,小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项。
【注】寻找对应边是可按照“长对长、短对短、中间对中间”的原则进行。
【解答】
拓展提升
【分析】综合应用三角形相似的判定定理和相似三角形的性质解决本题。
【解答】
定理：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：在△ABC和△A\\\\'B\\\\'C\\\\'中，
【注意】应用“三边成比例的两个三角形相似”是要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边。
图文导学
图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删