吴国盛 | 数学——中国独立发展的科技文明
▲吴国盛
作者 吴国盛 （本号主编，清华大学人文学院教授）
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中国数学古称“算学”，侧重于解决实际应用问题。由于在天文历法的计算方面有不少艰深的数学问题需要解决，因而历法与算学的发展密切相关联，许多科学家兼天文学家和数学家于一身。
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中国数学古称“算学”，侧重于解决实际应用问题。由于在天文历法的计算方面有不少艰深的数学问题需要解决，因而历法与算学的发展密切相关联，许多科学家兼天文学家和数学家于一身。
汉代出现的《周髀算经》（成书年代大约是公元前1世纪）是现存我国最古老的数学著作。其中叙述的勾三股四弦五的规律，在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国人民认识到这一关系亦相当早。【也有许多人认为，勾三股四弦五这种具体的数量关系与毕达哥拉斯定理这种一般的数学规律不是一回事。】
▲《周髀算经》书影，出自国立台湾师范大学数学系网站。
汉代出现的另一本著作《九章算术》标着我国古代数学体系的初步形成。这本书也是我国最古老的数学著作之一，成书年代大约是公元1世纪，是对战国、秦、汉时期我国人民所取得的数学知识的系统总结。其作者并非一人，而是有数代学者参与修改、补充。据考证，《九章算术》的原本在公元前2世纪以前就已存在，公元前1世纪基本定型。
▲《九章算术》书影，出自国立台湾师范大学数学系网站。
《九章算术》共分九章，主要是解决应用问题。书中有时先举个别问题，再谈解法，有时先谈一般解法，再谈举例说明。九章分别是：方田（计算田地的面积）38题、粟米（交换谷物的比例问题）46题、衰分（按等级比例分配问题）20题、少广（由已知面积体积求边长，即开方和开立方）24题、商功（工程方面的体积计算）28题、均输（较复杂的比例分配问题）28题、盈不足（由盈和不足两个假设条件解一元二次方程）20题、方程（一次联立方程问题）18题、勾股（利用勾股定理进行测量计算）24题，共246个问题。书中广泛涉及了分数计算法、比例计算法、面积体积计算法、开方术以及方程中的正负数运算等等，是那个时代世界上最先进的算术。
举书中盈不足第1题为例，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是说，今有众人共买一物，每人出8元，多出3元，每人出7元，少4元，问人数和物价各是多少？《九章算术》的高明之处在于，它不仅解出了这一题，而且给出了解这类题目的普遍公式。设人出a1盈b1，人出a2不足b2，则
此外，它还能将那些本不属于盈不足的问题化成盈不足问题，使盈不足术广泛用于解算术应用问题。例如第10题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日生一尺，问几何日相逢，瓜瓠各长几何？”意思是说，“今有一墙高9尺，墙顶种瓜，瓜蔓每天向下长7寸，墙脚种瓠，瓠蔓每天向上长1尺，问几天后瓜蔓与瓠蔓相逢？相逢时瓜蔓与瓠蔓各有多长？”这个题可以这样化成盈不足问题：“今有墙高9尺，墙顶种瓜，墙脚种瓠，5日后，瓜蔓瓠蔓还差0．5尺，6日后则超过了1．2尺，问几日后它们正好相逢？相逢时各长多少？”
与希腊数学相比，《九章算术》所代表的数学体系注重实际的计算问题，而不考虑抽象的理论性和逻辑的系统性。特别值得指出的是，它采用十进位制的算筹算法，使它在计算方面具有当时无可比拟的优越性。对于中国数学而言，《九章算术》有着奠基式的重要意义，它所开创的体例和风格一直为后世延用。中国数学家正是在对它的注释中推动了中国数学的发展。
公元3世纪和5世纪出现了我国早期伟大的数学家刘徽和祖冲之。
刘徽生活于曹魏和西晋时期，公元263年写作了著名的《九章算术注》。这本书除了对《九章算术》的解法给出理论论证之外，还创立了“割圆术”这一新的数学方法。
在刘徽之前，人们一般使用“周三径一”来进行有关圆的计算。刘徽发现，“周三径一”关系并不是圆周与直径的真实关系，而是圆内接正六边形周长与直径之比；以此计算出来的圆面积也不是圆面积的准确值，而是圆内接正十二边形的面积。他由此想到，当圆内接正多边形的边数无限增多时，其周长就会无限接近圆周长，通过求圆内接正多边形的边长与直径之比，就可以越来越精确的得出圆周率（即圆周与直径之比）。这就是所谓“割圆术”。运用“割圆术”，刘徽算出了圆内接正192边形的面积，得出了圆周率的两个近似值157/50＝3．14和3927/1250＝3．1416，是当时世界上最精确的圆周率值。
▲刘徽《九章算术注》宋刻本书影。
运用刘徽所发明的割圆术，南北朝时期的著名数学家祖冲之及其儿子祖暅，将圆周率准确到了小数点后第七位。他们通过计算圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出3．1415926＜π＜3．1415927。此外，祖暅还证明了“等高的两立体，若其任意高处的截面积相等，则它们的体积相等”（幂势既同则积不容异），今人称之为“祖暅定理”。
▲1955 年中国人民邮政发行的祖冲之纪念邮票。
▲祖暅。图片来自百度百科。
魏晋南北朝时期出现了一大批数学著作。被辑入《算经十书》中的有，刘徽的《海岛算经》，《孙子算经》，《夏侯阳算经》、《张邱建算经》，祖冲之的《缀术》，甄鸾的《五曹算经》、《五经算术》（此外还有较早的《周髀算经》、《九章算术》和唐代王孝通的《缉古算经》，由于祖冲之的《缀术》到南宋时已失传，故又将甄鸾的《数术记遗》补入）。这些书成了我国古代数学教育的教科书。到了唐代，随着社会经济的高度发达，解决实际计算问题的算术也有了较大的发展。除了又有一些数学专著问世外，在计算技术方面也有不少改革。传统的算筹逐步显示其缺陷，主要是操作速度受到限制，太快时也容易出错。作为一种改革方案，珠算就在这时出现了。
中国古代数学在宋元时期达到其繁荣的顶点。从11世纪到14世纪300年间，出现了一批高水平的数学著作和著名的数学家。其中，秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰被誉为宋元数学四大家，代表了当时中国也是世界上最先进的数学水平。
秦九韶（1202－1261），生于南宋末年的四川安岳，曾经在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，但仕途不顺，最后被贬梅州。他写于1247年的《数书九章》，是中国数学史上一部重要的著作。全书共18卷，81题，分9大类：第一，大衍类，主要阐述大衍求一术，即一次同余式组的解法；第二，天时类，讨论历法推算与气象测量；第三，田域类，讨论面积问题；第四，测望类，讨论勾股重差问题；第五，赋役类，讨论运输与税收筹划问题；第六，钱谷类，讨论粮谷运输与粮仓容积问题；第七，营建类，讨论建筑工程问题；第八，军旅类，讨论安营扎寨与军需供应等问题；第九，市易类，讨论市场交易及利息问题。秦九韶在这本书中所提出的“大衍求一术”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造。
▲秦九韶。图片来自百度百科。
李冶（1192－1279），河北真定人，生活在金元交界的时代。据说，元世祖忽必烈慕名多次召见，许以高官，都被谢绝。李冶一生隐居，潜心著述讲学，1248年完成《测圆海镜》，1259年又写成《益古演段》。前书共12卷，170个问题，讲述由给定直角三角形求内切圆和傍切圆的直径，并在此书中提出“天元术”。后一书是“天元术”的入门著作，力图通俗向读者解释天元术。所谓“天元术”即根据问题的已知条件列方程、解方程的方法。“天元一”相当于未知数ｘ。天元术的出现标志着我国传统数学中符号代数学的诞生。
▲《测圆海镜》。图片来自百度百科。
杨辉（活跃于13世纪中后期）是南宋末年著名的数学家，杭州人，其生平已不可考。据说他写有算学著作5种21卷：《详解九章算法》12卷（1261）、《日用算法》2卷（1262）、《乘除通变本末》3卷（1274）、《田亩比类乘除捷法》2卷（1275）、《续古摘奇算法》2卷（1275），后三种统称《杨辉算法》。杨辉毕生致力于改进计算技术，提高乘除法的运算速度。他主张以加减代乘除，以归除代商除，并创造了一套乘除捷法。在高阶等差级数的求和方面，杨辉发明了“垛积术”。此外，他还首创了“纵横图”研究。
▲杨辉的研究。图片来自百度百科。
朱世杰（活跃于13与14世纪之间），元代河北人，生平已不可考。据说以数学为业游学四方，著有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算学启蒙》3卷259题，从四则运算开始一直到高次开方、天元术，是一部比较完善的数学教科书。《四元玉鉴》3卷288题，特别讨论了高次方程组的解法、高阶等差级数的求和以及高次内插法等。这些问题之高深、解决方法之精辟，当时世界上首屈一指。
▲朱世杰作品。图片来自百度百科。
宋元时期除了在代数学上有突出的成就，计算技术也有很大的改进。最主要的表现就是珠算的正式出现以及普及应用。自明代开始，中国传统数学较少创造性发展，除了计算技术的普及与数学应用方面有所进步外，整个水平开始落后于欧洲。
【本文原载于《科学的历程》；版本信息：第一版：湖南科学技术出版社，1995年12月；第二版：北京大学出版社，2002年10月；第三版：湖南科学技术出版社，2013年8月。转载请联系作者获取授权，并注明出处。】