有为的青年教师何睦：有效的高中数学章节序言课教学----基于樊亚东老师录像课“不等关系”的研究
编者按：众所周知章节序言难上，何老师对此有深入研究，发表一系列高水平论文，本公众号将陆续推送。谢谢何老师！
开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。
文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。
何睦，中小学一级教师，教育硕士，张家港市学术带头人，张家港市学术指导团专家组成员。2018年苏州市基础教育教学成果奖（基础教育类）一等奖获得者，曾获张家港市优秀高三数学教师、局级优秀共产党员等称号。工作9年来，已出版专著《高中数学章节起始课的教学研究与案例设计》，在国家级核心、省级期刊发表教育教学论文近50篇，其中10篇文章被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载，同时还指导近20位学生在国家级刊物发表小论文17余篇。主持江苏省教育科学“十三五”规划2018年度青年专项重点资助课题和苏州市基础教育前瞻性教学改革实验项目的研究。撰写的案例《数学章节起始课：从惑到识》获得全国教育指导委员会教育硕士专业学位案例库的入库资格。
有效的高中数学章节序言课教学
——基于樊亚东老师录像课“不等关系”的研究
何 睦
随着新课程改革的进一步推进，章节序言课的教学已逐渐进入一线数学教师的视野. 所谓章节序言课，是指数学一个分支、一个章节或一个单元开始的第一节课，是一个分支、一个章节或一个单元学习的起点. 在现实的教学过程中，一方面由于高中数学教学课时安排紧张，个别教师不重视章节序言课的教学，在观念上轻视章节序言课；另一方面，在教学方法上，个别教师不知如何去设计一堂有效的章节序言课，缺乏方法层面的指导. 种种现状都直接导致章节序言课的教学价值无法得以彰显. 因此，怎样设计章节序言课，怎样上好章节序言课应成为数学课堂教学研究的一个亟待开展的课题. 一个高效有序的章节序言课的教学案例能使我们感性地认识章节序言课，为我们开展有效的章节序言课教学指明方向. 江苏省教授级高级教师、江苏省苏州中学樊亚东老师执教的“不等关系”就是这样的一堂课.
一、教学实录
“不等关系”是苏教版高中数学必修5第三章第一节的内容，是第三章“不等式”的章节序言课. 教材对这一节内容并未作太多的展开，仅仅由3个具体的实际问题（分别是一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式组模型）来帮助学生理解不等关系，引导学生建立相应的不等式模型来刻画实际问题.
在简单的自我介绍后，樊老师就开始组织“不等关系”的课堂教学了，他花了10分钟不到的时间和学生一起分析了教材上的3个实际问题. 正当在场的所有听课教师为樊老师“捏把汗”时，樊老师凭着他特有的教学风格和大家风范不仅hold住了全场，而且成就了一堂成功、精彩的章节序言课.
【片段1】
樊：我们学习时，要养成一个好习惯：当我们接触一个新的数学内容时，请思考一下是否有我们已经学过的知识和它是有关联的？大家觉得我们即将要学习的“不等式”内容和我们之前学习的哪些内容能产生联系？
生1：一元一次方程.
生2：一元一次不等式.
生3：函数.
……
樊：同学们的回答提醒我们，我们之前已经学过了许多相关知识. 大家要养成一个好习惯，当我们学习新内容时，要先思考一个问题：它和我们已经学过的什么内容有联系呢？我和大家交流一下我的看法，假如我来学不等式，我觉得发生关联最多的应该是等式的问题. 刚才有同学说一元一次方程，这就是一个特殊的等式. 还有同学说到一元一次不等式，这是提醒我们已经学过不等式. 可以看出，等式和已经学过的不等式会和今天要学的不等式发生最密切的联系. 下面，我们就顺着这个思路，先来回顾一下我们学过哪些相关的等式知识.
二、什么是有效的高中数学章节序言课教学
“不等关系”的教学何以成功？关键在于樊老师组织了有效的章节序言课教学. 关于章节序言课，国内不少教师从不同角度进行了研究，开发了很多章节序言课的教学案例. 已有研究深化了教师对章节序言课的认识，为开展章节序言课教学提供了指导和方向. 在研究的过程中，我们认为，一个有效的章节序言课应明确以下要素.
（1）章节序言课的起点：唤醒学生的已有认知，以学生的已有认知作为新知的重要生长点
著名教育心理学家奥苏伯尔在其著作《教育心理学》的扉页上写着这样一句话：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学.”这一点明确告诉我们，数学教学要立足学生的已有认知，以学生的已有认知作为新知的重要生长点. 章节序言课作为整章的开篇和布局，知识生长点的研究显得更为重要.
樊老师在片段1中通过元认知提示语“我们即将要研究的不等式和之前学过的哪些内容能产生联系？”，逐渐地唤醒了学生关于本章新知的已有认知：“等式”和“已经研究过的不等式”，樊老师并以学生的已有认知作为本节课的重要生长点，由此慢慢地拉开了本章的序幕.
因此，在进行章节序言课的教学设计时，要充分了解和分析学生的原有认知结构中是否具有适当的能够与章节新知建立联系的知识生长点，找到知识生长点有助于找到新知的源头活水，才能使探求新知成为可能.
（2）章节序言课的内容：研究内容、研究方法的融合
章节序言课作为一章的序言，应能使学生对全章学习内容总体上有一个大致的了解，以帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，形成良好的认知结构[1]. 章节序言课一般不涉及具体的知识内容，不需要对具体的知识进行分析和讨论，而应当让章节序言课充分发挥其先行组织者的角色，让学生整体构建章节体系，具体地，应该让学生知晓本章要研究什么内容？用什么样的方法去研究本章内容？研究的过程中会涉及哪些常用的数学思想方法？
在片段2的教学中，樊老师通过两个简单的等式和，引出等式要研究的两个问题：证明恒成立的等式和解方程，类比等式的研究内容，得出不等式的研究内容：证明恒成立的不等式和解不等式. 由等式类比不等式，自然地得出了不等式章节的研究内容.
在后续内容展开的过程中，樊老师多次运用了类比的数学思想方法，第一次由等式的研究内容类比得到不等式的研究内容；第二次由等式的性质类比得到不等式的性质，并指出类比迁移时需要值得注意的问题；第三次由利用图象解一元一次不等式类比得到一元二次不等式的图象解法. 樊老师同时又多次渗透数形结合的数学思想方法，片段4的教学过程，樊老师用了整整10分钟时间，先让学生回忆一元一次不等式的图形解法，不断引导学生将符号语言转化为图形语言，学生在学习中也多次经历语言的转化过程，因此在之后一元二次不等式的解法探索过程中，学生很容易的能通过图象解决. 学生在学习过程中不断的使用类比和数形结合的方法，使得数学思想方法能得到不断的巩固和深化.
樊老师既高屋建瓴的构建了本章要研究的相关知识，同时又给学生提供了研究的方法. 值得一提的是，与听课教师交流后得知，有不少学生在课后能独立完成樊老师在片段5布置的课后思考题，特别是课后思考题3，其涉及的是二元一次不等式的相关知识，能独立解决这个问题实属不易，这一定是归功于樊老师高效、有序的课堂教学.
因此，一个有效的章节序言课，应该是研究内容和研究方法的融合，章节序言课应该是黑暗中一盏指路的明灯，应该发挥其先行组织者的功能，为学生的学习起到统领全章的作用.
（3）章节序言课的目标：知识结构和认知结构的完善和优化
数学教学的根本任务在于帮助学生形成良好的数学认知结构.最早明确提出数学认知结构概念的是我国学者曹才翰先生，他认为：“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构. ”[2] 此后，国内不少学者关于数学认知结构的内涵纷纷提出了自己的观点，虽然对于数学认知结构概念的界定一直没有形成统一的观点，但国内数学教育界认可和应用较多的是曹才翰先生的界定. 简单地说，数学认知结构就是在学生头脑中的形成的数学知识、数学经验及其在头脑中的组织形式，是数学知识的逻辑结构与学生认识结构相互作用的产物.
章节序言课是利于学生形成良好数学知识结构的重要课型，樊老师通过5个片段的教学，从整体上构建了本章要研究的知识结构和研究方法，这有助于学生更好的形成数学的“Big ideas”，学生通过后续课程的学习能不断的对该结构进行扩展、修正、完善，最终形成完整的知识结构. 而良好的数学认知结构是由良好的数学知识结构转化而来的. 一旦学生在头脑中形成了便于记忆和迁移的数学知识结构，并若能以网络化、结构化的方式将零碎的知识结构整合起来，在学生头脑中便能形成良好的认知结构，最终提高学生的问题解决水平，提升学生的数学素养和终身学习的能力.
参考文献
[1] 陶维林. 研究章引言，上好起始课[J]. 中国数学教育, 2010(3): 11-13.
[2] 曹才翰，蔡金法. 数学教育学概论[M]. 南京：江苏教育出版社，1989.
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不用法向量求二面角大小的简捷方法----原文刊载《数学通讯》2013.11-12
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