杨永清：问题预设孕生成 悟化深学润素养 ——以“方程的根与函数的零点”教学为例

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       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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杨永清，男，民盟盟员，四川省温江中学正高级教师，成都市特级教师。先后获得四川省先进工作者、四川教育系统优秀教师、四川省骨干教师、成都市劳动模范、成都市学科带头人、等荣誉称号。《提升学生数学素养的教学案例研究》等两项教学成果获省一等奖，所撰写的几十篇论文在各级刊物上发表或获奖。

2017年版普通高中数学课程标准，明确要求高中数学教学活动应将数学核心素养的培养贯穿于教学全过程^[１]。数学核心素养是数学必备品质、关键能力与数学情意^[２]。数学必备品质包括数学意识、数学眼光、数学思想与数学文化。数学意识与数学思维品质是在问题解决中发展的，数学思想与数学文化是在不断反思与感悟中丰富的，故指向核心素养提升的教学方式不是单纯的接受，而是建立在深切体验与深度反思上的感悟与内化。

数学基本活动经验是数学核心素养发展的基石，问题解决是数学核心素养发展的机制，数学探究是数学核心素养发展的载体，整体生成是数学核心素养发展的场域，实践应用是数学核心素养发展的熔炉^[3]　。本文结合“方程的根与函数的零点”教学课例，摭谈笔者立足数学活动经验，以问题作预设，借力“三导一化”（导疑、导探、导用和悟化），开展数学探究活动，营造“活动场、生成域、实践炉”，构建数学深度悟化学习活动，滋润数学核心素养的粗浅做法。

1立足活动经验 导疑自然生成概念 

生成离不开数学活动经验，经验有助于知识的理解、同化与顺应。立足于学生活动经验的概念生成活动一定是基于学生的最近发展区，精设问题情景，引发求知欲望；巧搭建探究阶梯，提供先行组织者；反思经验感受，导疑催化生成。

“方程的根与函数的零点”的教学就是要揭示方程的根与函数零点的内在关系，发现零点存在定理的事实，感知数形结合、等价转化等数学思想。关于方程的根与函数的零点的设计不少，但总给人一种太“顺”的感觉。从二次函数与二次方程的内在联系生成函数的零点概念，探究二次函数、二次方程间的内在关系感知生成零点存在定理，通过例题体会定理的应用，似乎一切都顺理成章。然而，表象背后一些深层次的问题并未得到解决。如明明可直接求解的方程问题，为何还要用函数的观点去审视？引入零点的概念有何必要？这些问题得不到解决，课堂的生成一定是虚伪的，提升数学素养便是一句空话。

在学习本节内容之前，学生已经学习了函数的概念、函数的图象与性质，对二次函数与一元二次方程的联系已经有了一定的认知；体验过用图象法判断方程根的个数，对数与形的转化有一定的感知；初步具备了用函数观点研究方程问题的认知基础，但对于用函数思想研究方程问题还未系统接触过，函数与方程的思想渗透有待加强。

有鉴于此，笔者对本节课的教学目标定位如下：

（1） 通过探索方程的根与函数的关系，建构零点的概念．通过概念辨析，体会零点定义的本质。

（2） 引导发现零点存在定理，通过变式探究，感悟定理条件的非充要性，训练思维的严密性，发展学生直观想象与数学抽象素养。

（3） 在定理的应用中，让学生获得数学基本活动经验，感悟数形结合与等价化归思想的运用。

本节课的教学框架设计为：

2立足数学理解，导探助推生成定理

3着眼数学悟化，导用完善生成体系 

数学解题教学主要运用数学运算和逻辑推理来解决数学问题，所以数学知识与解题教学有助于直观相象、数学抽象、数学运算和逻辑推理素养发展。但是，数学的眼光、数学的思维、数学的意识所构成的数学必备品质仅靠知识与解题教学是难以形成的。它必须通过主体不断的比较、反思等元认知活动，矫正认知偏差，感悟方法精髓，体会思维策略，从而内化为自己的认知体系，形成数学化的意识与思维品质。指向数学核心素养的教学，一定要为学生搭建问题解决的平台，要给学生足够反思与感悟的时空，要在解决问题中积累数学活动经验，在反思中深化数学理解，在感悟中内化数学思想和方法，修炼数学必备品质与关键能力。

在定理运用环节，用引入环节的问题作例题。

例题.用零点存在定理证明：方程有实数解．

此题可让学生体会到零点存在性定理的价值，判断不能“硬解”的方程有无实根，内化对方程的根与函数零点关系的认识。

为促进学生对定理功能及判断零点个数策略的“悟化”，紧接着跟进以下变式问题：

这三个变式问题，问题1体现零点存在定理可用于判断零点所在区间。问题2可让学生经过反思悟出一个结论，单调函数如果有零点，则必然是唯一的。变式3所涉及的函数不是单调的，面对此情形老师追问：当函数不单调时，还能用零点存在定理判断零点个数吗？如果不能，你怎么确定零点个数？引导学生再反思，启发他们联系原有的活动经验，把方程根的个数可以转化为两个函数的图象交点个数，在体验的基础上悟得判断函数零点有三种方法：解方程、单调函数用零点存在性定理、数形结合转化为判断两个函数的交点个数。

在课堂小结环节，提出问题：我们学习了哪些知识？能够解决哪些问题？接触了哪些数学思想？回顾学习过程，你有哪些感悟？学生根据自己的体验，总结出：一种关系（函数的零点与方程的根）、两种思想（数形结合、等价与化归）、三类题型（求零点、判断零点个数、判断零点所在区间），从他们的回答看出，本节课较好地达成预期的教学目标。

数学的优势是训练思维，数学的本质是思想方法。思维品质在问题解决中提升，思想方法在感悟中逐步形成。指向数学核心素养发展的数学教学，就是要牢牢抓住问题解决这根“缰绳”。用问题导探，借问题促悟，把教学内容变成一系列问题的链接^[4]，让知识学习成为学生探究发现的过程，让问题驱动成为学生反思的助推器、问题解决成为深度悟化的依托。但如何利用好问题导探，借问题促悟，使之更好地将发展学生的核心素养落实到课堂中，还有不少问题值得探讨。

✎ 参考文献 
[1]普通高中数学课程标准（２０１７版）[D] 人民教育出版社[2]宁锐，李昌勇，罗宗绪．数学学科核心素养的结构及其教学意义[J]．数学教育学报，2019，28（2）：24–29．[3]李松林.学科核心素养的发展机制与培育路径[J];课程.教材.教法;2018,03 17-22[4] 陈柏良．构建深度学习的数学课堂[J].中学数学教学参考，2017，（11）:14-17

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