七下期末复习——以平面直角坐标系为背景的综合运用（1） [尖子生之路2019版]

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七下期末复习——以平面直角坐标系为背景的综合运用（1）

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【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（2，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）在y轴上是否存在一点M，使△MAB的面积等于平行四边形ABDC的面积的1/4？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）若点P在线段BD上运动（不与B，D重合），连接PC，PO，试探究△CDP与△BOP的面积和的取值范围；

（3）若点P在第一、四象限，且在直线BD上运动，请直接写出∠CPO，∠DCP，∠BOP的数量关系．

（4）若点P在y轴的负半轴上运动，连接PD交AB于点E．当S_△PAE≥S_△BDE时，求点P的纵坐标取值范围．

【图文解析】

（1）如下图，直接利用三角形面积与平行四边形面积公式求解：

由A（﹣10），B（2，0），得AB＝3．

由平移，得C（0，2），D（3，2），得OC＝2．

由△MAB的面积等于□ABDC的面积的1/4，得

S_△MAB＝0.5AB•OM＝1/4×AB•OC＝1/4×S_{平行四边形ABDC}．

得OM＝1/2×OC＝1．

所以M（0，1）或（0，﹣1）；

（2）如下图示，利用点的坐标特点，分别为OB和CD为三角形的底边表示面积．

过点P作PF⊥AB于F，交CD于E，显然有OB＝2，CD＝3．OC＝2．

设PF＝m，则PE＝2－m，其中0＜m＜2．

由三角形面积公式，得

S_阴＝S_△CDP+S_△BOP＝0.5OB×PF+0.5CD×PE＝0.5×2m+0.5×3(2-m)=-0.5m+3．

由0＜m＜2，得2＜-0.5m+3＜3．即2＜S_△CDP+S_△BOP＜3．

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（3）①当点P在线段BD上时，如下图示，

∠CPO＝∠DCP+∠BOP．

②当点P在BD延长线上时，如下图示，

∠POB＝∠DCP+∠CPO；

③当点P在DB延长线上时，如下图示．

∠DCP＝∠POB+∠CPO．

（4）如下图示．

直接利用已知条件求解，难度非常大，可进行下列转化：

由S_△PAE≥S_△BDE，得

S_△PAE+S_△ADE≥S_△BDE+S_△ADE．

即S_△PAD≥S_△ABD．

其中S_△ABD＝0.5×AB×OC＝0.5×3×2＝3．

而S_△PAD可用下列方法求得（方法多种，仅提供一种）

S_△PAD＝S_梯形APCQ+S_△PCD－S_AQD

＝0.5×(2+2+t)×1+0.5×3×(2+t)-0.5×4×2

＝2t+1．

由S_△PAD≥S_△ABD，得3＞2t+1．解得t<1．

所以点P的纵坐标取值范围为-1＜t<0．

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