2019-2020福建福州九上质检倒二压轴解析——圆综合

2019-2020福州九上质检倒二压轴

【第24题】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是弧AC上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2√13，求CD的长．
 【图文解析】
第一问（1）连接CE，如下图示：
由于BC为⊙O的直径，得∠E＝90°，又AD⊥BE，不难证得AD∥CE，得∠CGD＝∠ECG，根据圆周角定理，结合已知条件，得∠ECG＝∠ACE+∠ACG＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝∠D，得∠CGD＝∠D，所以CG＝CD．法二：与法一类似，如下图解： 
法三：与法一类似，如下图解： 

第二问

【试题题】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是弧AC上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．

（2）若AB＝4，BC＝2√13，求CD的长． 

【图文解析】由上述图解，同时还可得到以下结论．四边形AECG是平行四边形，△CDG是等腰三角形．
将相关条件和容易得到的结论标注上，如下图示：法一 ：由基本图形，可得到如下图的结论．
如下图示，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AE＝6√13/5．所以CD=6√13/5．
法二：
由△CFG∽△BFC，得CD：BC＝FG：CF，相关数据代入，得CG＝……＝CD．
法三：用三角函数的定义或相似，如下图示的图解．法四：利用平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理和勾股定理，如下图示的图解．
【拓展1】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是弧AC上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求AG：AD的值；（2）若AB＝4，BC＝2√13，求BE的长．【拓展2】如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是弧AC上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．若AB/AC＝x，用含x的式子表示CD/BE．（拓展仅作为教学研讨，不提供思路与答案）

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