2019-2020福建福州九上质检倒一压轴解析——纯函数

2019-2020福州九上质检倒一压轴

【第25题】已知抛物线C：y=ax²-4(m-1)x+3m²-6m+2．（1）当a=1，m=0时，求抛物线C与x轴的交点数；（2）当m=0时，判断抛物线C的顶点能否　落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m²-2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限，以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围． 【图文解析】（1）基本常规题，不做解析，答案如下：当a=1，m=0时，抛物线为y=x²-4x+2．当y=0时，得x²-4x+2=0．△＝(-4)²-4×1×2＝＝8＞0．所以抛物线C与x轴有两个交点【第2问】已知抛物线C：y=ax²-4(m-1)x+3m²-6m+2．（2）当m=0时，判断抛物线C的顶点能否　落在第四象限，并说明理由；【解析】当m=0时，抛物线C为y=ax²+4x+2．法一：由于抛物线与y轴交于点（0，2）（定点），若抛物线的顶点在第四象限，则抛物线的大致图象如下：结合图象，知：a>0（抛物线开口向上），且抛物线对称轴位于y轴右边，得-2/a>0，得a<0，显然a>0与a<0不可能同时成立，所以抛物线的顶点不可能落在第四象限．（实际上，要想落在第四象限，还需满足与x轴有两个交点，即△>0）

法三：由y=ax²+4x+2，得顶点坐标为（-2/a，-4/a+2）．当顶点落在第四象限时，根据第四象限的坐标特点，得显然这个不等式组的两个不等式不可能同时成立，所以……
法三：由法二，知：顶点坐标为（-2/a，-4/a+2）．设-2/a=x，-4/a+2＝y，则y=2x+2．即顶点的横纵坐标满足y=2x+2，根据函数图象的定义（或“点动成线”），得该抛物线C的顶点在直线y=2x+2上运动，而直线y=2x+2不可能经过第四象限，所以……【第3问】已知抛物线C：y=ax²-4(m-1)x+3m²-6m+2．（3）当m≠0时，过点（m，m²-2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限，以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．【解析】将点（m，m²-2m+2）的抛物线C的解析式中，化简并整理，得（a-2）m²=0．因m≠0，得a-2=0，所以a=2．此时抛物线C的解析式为y=2x²-4(m-1)x+3m²-6x+2=2(x-m+1)²+m²-2m得顶点坐标为(m-1，m²-2m)．设x=m-1，y=m²-2m，则y=(m-1)²-1=x²-1．类似（2）中的法三，得：经过点C的所有抛物线的顶点均在抛物线y=x²-1上运动．依题意，得：点A、B为抛物线y=x²-1 上的两点，横坐标分别为t和t+2．所以A(t，t²-1)，B(t+2，(t+2)²-1)．如下图示：

结合图象，知：点B在点A的右上方．

由点A在第三象限，得

t＜0且t²-1<0，解得-1＜t＜0．

根据勾股定理，得

AB²＝(x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²

=2²+(2t+2)=16(t+1)²+4．

(其中-1＜t<0)．

结合y=16(x+1)²+4的图象，得当-1<t<0时，AB²随t的增大而增大，得4＜AB²＜20．进一步，得π/4×4＜π/4×AB²＜π/4×20．即π＜π/4×AB²＜5π又S＝π(AB/2)²=π/4×AB²．所以π＜S＜5π．【拓展】已知抛物线C：y=ax²-4(m-1)x+3m²-6m+2．当m≠0时，过点（m，m²-2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，连接AB，当线段AB经过原点O时，y轴上是否存在一个定点M，使∠AMB＝90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

（拓展仅作为教学研讨，不提供思路与答案）

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