【例题拓展与延伸】18.2.3 正方形

强烈推荐（直接点击阅读）本公众号所有文章分类汇总2020.2.8七下八下相关文章汇总2020.2.2

---

18.2.3 正方形

（人教版八下P.58的例5）

本节所学知识：正方形的判定和性质．【例】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．【课本解答】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO．∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形．并且△ABO≌BCO≌CDO≌△DAO．【解后反思】除了以下图中相关边角对角线的相关结论外，还具有众多的相关对称，还可通过平移、旋转等进行转换．【基本应用】
1．如图2，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，AE，BF相交于点G，BE=CF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
    ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF．    ∴AE=BF． （2）由（1）知：△ADE≌△BCF．       ∴∠BAE=∠CBF．    ∵∠BAE+∠AEB=90°．    ∴∠CBF+∠AEB=90°．∴∠BGE=90°．∴AE⊥BF．2．如图4-4，在△ABC中，AB＝AC，中线BD和CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．连接AO并延长交BC于H点，当OA与BC满足什么条件时，四边形DEFG是正方形？并说明理由．【提示】当OA＝BC时，四边形DEFG是正方形．（根据三角形的中位线定理和正方形的判定）

---

（以下内容选自本人编写的《尖子生之路》系列丛书七年级下册——点击图片了解.扫描图中的二维码进微店购买）

尖子生之路

相关书籍购买微店

《尖子生之路》系列丛书，全套7册，答案单独成册，全彩版呈现，由本公众号主张祖冬个人独立编写！以“图解”形式突破中难题，注重基本图形的变式，注重拓展延伸.阅读方便、直观，思路清晰流畅，不但可以节约大量的宝贵时间，而且更能让你想象体会到其中的解题思路和方法技巧，还能从“基本图形”的应用、变式、拓展和延伸中感受到所谓的名目繁多的“模型套路”的本质.书中所选用的试题及大量的变式拓展延伸等选自本人所写的公众号文章精选更新优化而成，均立足于课标与教材，立足于一线的教学实践与体会，重视教学实际与可操作性.

---

【挑战提升】

【挑战1】如图5-10，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．【图文解析】
（1）如图5-10T1的图解．同时，还可得：AE＝CE，∠PCE＝∠PAE．（2）如图5-10T2的图解（常见的“蝶形”基本图）．
（3）如图5-10T3，得△PCN≌△APB（AAS），得CN＝PB，PN＝AB．
如图5-10T4，得四边形BFCN是矩形，得BF＝CN＝PB，CF＝BN＝PN+PB＝AB+BF，所以△AEF的周长＝AE＋EF+AF＝CE+EF+AF＝CF+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16．

【挑战2】如图11-1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F．

（1）求证：AF＝DE；
（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图11-2，求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG，如图11-3，求证：CG＝CD．
【解】（1）证明：如图5-11T1，正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90^o，∴∠2+∠3＝90°．又∵BF⊥AE，∴∠AGB＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠1＝∠3在△BAF与△ADE中，∴△BAF≌△ADE（ASA）．∴AF＝DE．（2）证明：如图5-11T2，过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．由（1）得∠1＝∠3， AB＝AD，
∠BGA＝∠AND＝90°．∴△BAG≌△ADN（AAS）．∴AG＝DN． 又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，∴DM＝DN，∴DM＝AG．又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF．∴△AFG≌△DFM（AAS），∴AF＝DF＝DE＝1/2AD＝1/2CD．即点E是CD的中点．（3）如图5-11T3，延长AE，BC交于点P，由（2）知：DE＝CD，∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，
∴△ADE≌△PCE（ASA）．∴AE＝PE．又CE∥AB，∴BC＝PC．在Rt△BGP中，∵BC＝PC，∴CG＝1/2BP＝BC．∴CG＝CD．在文末右下角点亮【在看】吧！也是对作者的最大鼓励和赞赏！【例题拓展与延伸】
八下系列第16章　二次根式16.1.1 二次根式（1）
第18章　四边形18.2.2 菱形18.2.1 矩形18.1.2平行四边形的判定（2）18.1.2平行四边形的判定（1）18.1.1平行四边形的性质（2）18.1.1平行四边形的性质（1）七下系列5.2.2 平行线的判定
5.2.1 平行线5.1.3 同位角 内错角 同旁内角5.1.2 垂线5.1.1 相交线

图书推荐（点击书名了解）：

《顶尖数学培优专题》(6册)（团队作品）

关注本公众号

相关文章分类汇总