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八下期末复习—中难题选析（4）
【例1】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，求证△ADE≌△DBF．
【图文解析】如下图示.
根据SAS，得△ADE≌△DBF.
【深化】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
【图文解析】如下图示，
结论△ADE≌△DBF仍然成立.【拓展1】如图，在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数．
【图文解析】由于“点O是AD边的垂直平分线与BD的交点”，所以OA＝OD，如下图示，
得△ADE≌△DBF.
进一步，得：
所以∠ADE＝∠DBF＝180.
【拓展2】如图，在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=72°，求∠ADE的度数．
（思考一下，不要急着看答案哦！）
【图文解析】由于“点O是AD边的垂直平分线与BD的交点”，所以OA＝OD，如下图示，
得△ADE≌△DBF.进一步，得：
所以∠ADE＝∠DBF＝220
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不为计算出错找借口，得计算得数学天下 中考数学复习的几点建议与体会初中数学电子课本汇总—人教｜华师｜北师【拓展3】在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在AO、DA的延长线上, 且AE=DF．请画出图形并说明，是否仍有△ADE≌△DBF？（动手画一画，不要急着看答案哦！）【图文解析】
画出符合条件的图形，如下图示：
显然仍然有△ADE≌△DBF，证明类似，如下图文解析：
【拓展4】如图，在▱ABCD中，AD＜AB，∠DAB＜600，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在AO、DA的延长线上, 且AE=DF．请画出图形并说明，是否仍有△ADE≌△DBF？
（动手画一画，不要急着看答案哦！）【图文解析】画出符合条件的图形，如下图示：
仍有△ADE≌△DBF，证明类似，如下图解：
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【例2】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
图1（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
图2（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
图3【图文解析】
（1）如下图示，根据SAS，不难得到△ABD≌△ACF.
进一步，得：∠ACF=∠ABD＝450，又∠ACB＝450，得到∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF＝900，从而BD⊥CF.另一方面由△ABD≌△ACF又可得到：BD＝CF，而BD＝BC－CD，所以BC－CD＝CF，即CF=BC﹣CD.如下图示：
（2）与（1）类似，只做图解：
此时CF=BC+CD（＝BD）.（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD﹣BC，如下图示：
②上图中，通过△BAD≌△CAF，可得到∠ACF＝∠ABD＝1800－∠ABC＝1350，从而∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝900，如下图示：
得△CDF为直角三角形。同时由正方形ADEF可得到∠DAF＝900，OF＝OD（即O是DF的中点），如下图示：
分别在直角三角形DAF和CDF中，根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可得到OA＝0.5DF，OC＝0.5DF，所以OA＝OC，从而△AOC是等腰三角形.【拓展】已知：在△ABC中，∠ACB＝450，点D为直线BC上一动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CE．O为正方形对角线的交点，连接OC，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【解法提示】与原题类似，先证∠ACE＝900.觉得作者辛苦，右下角点个在看吧
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