洪一平——三次函数对称中心的一个判定方法与应用

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三次函数对称中心的一个判定方法与应用

浙江平阳中学      洪一平

命题:设y=f(x)是一个三次函数, 若任一条直线l与y=f(x)的图象相交于不同的三点A, B, C, 且满足|AB|=|BC|, 则B是函数f(x)的图象的对称中心.

证明:由于三次函数都有一个对称中心, 通过平移可以把对称中心与原点重合,

故不失一般性, 可设过原点的三次函数f(x)=ax³+bx, a≠0, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃),

由|AB|=|BC|, 得2x₂=x₁+x₃, 2y₂=y₁+y₃, 

而x₁≠x₃, 故x₂=0, 从而y₂=0,

因此, B是对称中心.

下面我们运用这个性质来解答一道三次函数对称中心的难题。

(武汉市2018届高中毕业生二月调研测试题)

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