彭光焰——对一道高考试题解法的多角度探求

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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对一道高考试题解法的多角度探求

湖北省广水市一中（432700）彭光焰

（2005年全国高考数学湖北理科第18题）

应该说，这是一道考查学生数学能力的好题，对于数学能力强的学生，能找出多种解法，对于数学能力差的学生，找一种解法就非常困难，这道题对于能力强的初中生就能解决.这道题既考查了学生“数”方面的基础（如数、式的运算，坐标的假设等）及“形”方面的基础（如作辅助线，坐标系的建立，勾股定理、正弦定理、余弦定理，向量的三角形法则、平行四边形法则等），又检验了学生的思想方法的掌握与运用，例如：如何通过作辅助线将已知的角和边转化到一个三角形中，从而运用正弦定理和余弦定理来求解；如何将一个三角问题转化为一个代数问题；如何将一个三角问题转化为一个解几问题；如何用坐标来表示有关点；如何用点的坐标来表示有关向量.叙述本题的文字虽简洁，但本题内涵丰富，思维容量大，解题入口宽，解法众多，是一道考能力的好题.本题体现了解三角形的本质（必须从“数”与“形”两方面结合起来思考），能考查一个高中学生的基本数学素养，同时也能引导教学，重视基础，重视数学思想方法，重视学生的探索能力的培养，重视学生的创新能力的培养，重视学生的思维能力的培养.下面就对该题的解法进行探究.

1  利用正余弦定理，通过作辅助线来求解

用正余弦定理解三角形是解三角形中最基本方法，通过作辅助线把已知条件化归到一个三角形中，然后再来求解.

2  利用向量有关知识，通过构造向量来求解

在高中新教材中，正余弦定理就是利用向量来推导的，向量进入高中数学之后，又为我们解决三角形问题提供了一条新途径.利用向量来解决也有两种方法.

3  利用解析几何知识，通过建立直角坐标系来求解

解法7完全没有用高中数学知识，对于能力强的初中生就可以解决.

作者彭光焰往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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