邹生书——高中数学难点之抽象函数问题解析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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高中数学难点之抽象函数问题解析

湖北省阳新县高级中学     邹生书

抽象函数问题是高中数学的一个热点和难点问题，其中的一个典型的问题型是：首先，题设给出在定义域内的任意两个实数都满足一个抽象的等式，其次，还满足其它若个条件，然后在此条件下求函数值，证明或判断单调性奇偶性，解抽象函数不等式或方程及恒成立或能成立等相关问题。下面我们举例解读。

【评注1】法2得到的式子f(y)+f(-y)=2具体一般性，但与法1相比解法似乎有一点舍近求远。

解法回顾：第1问最为简单用赋值法很快求得函数值，第2问最为基础中等难度用函数单调性证明的“五步法”（取值——作差——变形——定号——下结论）结合简单赋值就可轻松搞定。第3 问能力立意综合性强有点难度，从解法来看，第3问的解决要用到前面两问的结果，前面两问是为最后一问服务的，这实际上命题人为解题者设置的台阶，所以解题者要充分利用好前面两问题的结果。利用f(0)=1和抽象函数等式f(x-y)=f(x)-f(y)+1及其变式f(x)-f(y)= f(x-y)-1，进行穿衣f和脱衣f消除差异，最后将抽象函数恒成立问题转化为含有参数的二次函数恒成立问题求解，继而转化为最值问题使问题获得最终解决。

[评注2]适合题设所条件的一个模特函数是f(x)=kx+1(k>0),若取k=1即得一个更为特殊的函数f(x)=x+1，在此具体函数情形下再来解决题目中的3个问题，则问题难度明显降低，变得简单容易多了，其中有些问题变得显然易见，而无需证明。

上面两题一题3问题，由易到难，往往后面的解答需要把前面小问当结果来用，即前面问题的解决为后续问题的解决作铺垫，这样解题者就旬上台阶一样，一级一级的往上上，而对于没有设置台阶的抽象函数试题，由于解题没有导向性其难度明显较大，往往不知从哪里入手，不知向何去处，两面我们来做几道没有台阶只有终极一问的抽象函数试题。

评注：满足题设条件的一个特殊的函数是f(x)=x-1. f(x+y)=x+y-1, f(x)+f(y)+1=(x-1)+(y-1)+1=x+y-1,满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1，而f(x)+1=x是奇函数。

评注：满足题设条件的一个特殊的奇函数是正弦函数f(x)=sinx.而正弦函数有一个非常有趣的公式：正弦平方差公式sin(x+y)sin(x-y)=sin²x-sin²y.

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