​邵苏阳——由百校联考圆锥曲线压轴题引发关于三点共线证明之思考

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由高三百校联考圆锥曲线

压轴题引发关于三点共线证明之思考

江苏省沭阳高级中学    邵苏阳 

圆锥曲线中三点共线的证明，无论是在解析几何的教学中、还是在高考中都具有很重要的地位，下文通过对此联考题的探究和引申，给出了圆锥曲线中三点共线的解题途径.本题是极点极线背景下的圆锥曲线题，它又集焦点弦，切点弦，中点弦为一体，还涉及一类特殊的极点极线问题，值得深究！不失为2021年新高考全国2卷圆锥曲线三点共线题的考后再现好题！当然往前追溯，如2012年全国卷，2012年北京卷，2011安徽卷，2009年福建卷，2008年江西卷等都考察了三点共线的证明等问题！

 附:（2021新高考Ⅱ卷）

一、解题思路

以上无论哪种形态，都可化归为x₀y₃=x₃y₀，殊途同归！此题因原点的特殊性，各法无太大繁简之分，但是原点坐标一般化，结合实际可操作性建议采用斜率和向量形态！

 二、解题筹备

（一）切线及切点弦方程

  途径三、参数求导（略）

  途径四、极限（略）

  途径五、仿射变换

  途径六、点差法+极限（略）

  （二）斜率关系

  途径一、点差法

途径二、设线法之正设

当直线斜率不存在时，显然成立；

当斜率存在不为零时,设直线AB的方程为y=k(x-1),

三、三点共线问题证明策略

策略一、解析几何角度

① 斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线.

法二、设点法之作差巧变

策略二、平面向量角度

③向量法：利用向量共线定理证明三点共线.

法七、面积行列式点坐标或向量形式

2.引申极点极线：

椭圆外一点与极线上的点的调和点列关系

本题为焦点和准线为一组极点极弦，而圆外一点和切点弦为另一组极点极线！椭圆的焦点弦与极点极线，过焦点弦的两端点分别作椭圆切线，切线交点在准线上；过椭圆准线上任一点作椭圆两切线，切点的连线过定点.垂直关系：PF1⊥AB.

写在最后，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.我们还有许多方法来证明三点共线问题，比如平面几何中梅涅劳斯定理，帕普斯定理，线段长相等，德萨格定理，张角定理等方法，但是在圆锥曲线中，采取斜率法和向量法和直线与方程法更具可操作性！

邹生书数学

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