邹生书——从IMO走进课本的三角形存在性探索题的拓展探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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从IMO走进课本的三角形存在性

探索题的拓展探究

湖北省阳新县高级中学       邹生书

1. 陈强双参数三角形存在性探索题

湖北潜江陈强老师在《高中数学解题交流二群》发帖子，提出了如下一道双参数的三角形存在性探索题：

在△ABC中，a=n,b=n+1,c=n+2(n≥2,n∈N*),是否存在整数k和n,使得C=kA(k≥2)？若存在求出所有k和对应n的值；若不存在，请说明理由。

用文字表达即为：

是否存在边长为连续整数的三角形，使得最大角是最小的整数倍？若存在求出这样的所有三角形；若不存在，请说明理由。

群里朋友通过交流得出如下结论：

满足条件的三角形有且只有一个，它是边长为4，5，6的三角形，最大角是最小角的两倍。

陈强老师这道自编的三角形存在性探索题，实际上就是原高中实验课本人教A版复习参考题B组第3题的进一步引申和拓展。题目如下：

有朋友发帖给出如下IMO试题：

（IMO-10）△ABC的三边为连续整数，且最大角∠B是最小角∠C的两倍，求三角形的三边长。

编者在网上查得此题是第10届(1965年)国际奥林匹

克数学竞赛的第1题，原题如下：

求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，

有一个角是另一个角的两倍。

显然这道IMO 试题早于课本，可见课本题是由这道IMO试题改编而成的，IMO试题是解答题，改编后的课本复习参考题是存在性探索题，下面对课本这道三角形存在性探索题给出如下三种解法。

2.课本三角形存在性探索题的多种解法

课本题等价于：

在△ABC中，a=n,b=n+1,c=n+2(n≥2,n∈N^*),是否存在整数k,使得C=2A？若存在求出所有n的值；若不存在，请说明理由。

  解法1：用正弦定理和余弦定理联手求解

  解法2：用余弦定理和倍角公式求解

  解法3：构造母子相似三角形求解

3.陈强双参数三角形存在性探索拓展题的几种解法

在△ABC中，a=n,b=n+1,c=n+2(n≥2,n∈N*),是否存在整数k和n,使得C=kA(k≥2)？若存在求出所有k和对应n的值；若不存在，请说明理由。

  解法1：用余弦定理和倍角公式列不等式切入求解

     解法2：构造母子相似三角形求解

   解法3：分类讨论结合正余弦定理求解

4.一道相关试题链接：

（2021-07-02北京朝阳区高一期末考试数学第16）

已知△ABC的三边为连续的正整数，给出下列四个结论：

①存在满足条件的三角形，使得三个内角中最大角等于另外两个角之和

②存在满足条件的三角形，使得三个内角中最大角大于另外两个角之和

③存在满足条件的三角形，使得三个内角中最大角等于最小角的两倍

④存在满足条件的三角形，使得三个内角中最大角等于最小角的三倍

其中所有正确结论的序号是＿＿＿

答案：①②③（过程略）

北京王芝平老师在公众号《平说数学》20210705的推文中，对上述朝阳区高一期末考试数学第16题第④问，给出了：巧构造等腰三角形，妙用二倍角余弦公式的漂亮解法，解法如下：

感谢《高中数学解题交流二群》的群友陈强、杨俊、赵恢平、陈辉、韦斌、等老师的解法讨论和提供的相关资料。

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