符强如：图引方向，依形辅数——一道解析几何压轴题的解法探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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图引方向，依形辅数

——一道解析几何压轴题的解法探究

符强如（新疆乌鲁木齐市实验学校）

【摘要】通过对一道压轴题的解法展示，再次揭示了数学离不开图，图是解析几何解题探究的源泉这一思想，也体现新课改对数学核心素养的直观想象、数学运算等的全面考查，启示我们利用“依形助数”和“数学中的基本”来突破解题障碍，并探索仿射变换在解椭圆相关高考压轴题的应用，以期有抛砖引玉之效.

【关键字】压轴题；仿射变换；优化计算；

    在每年的全国各地的高三模拟试卷中，总有一些亮眼的试题.2020年乌市一模压轴题本身表述简洁，蕴含丰富的数学思想，是一道既能提供丰富教学内容的优质题，又能利于拓展想象力并激发学生思维的灵活性，其鲜明的导向性和研究价值，符合新课改对数学核心素养的考查要求.笔者通过深入探析并多角度展现解题思路，希望对同仁教学有所借鉴.

    题目（2020乌市一模）

评析  比较常规的求轨迹方程问题.也是课本所选择的方法-五步直译法.源于人教版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）》第47页例6，其实质为椭圆的第二定义.现主要探讨第（2）问.

（2）角度一 ：从割补不规则面积思路探路.

思考与拓展

对于解析几何求面积定值、范围问题，可以从上面三个思路出发，其各有各的特点,思路一易想，但对计算能力有要求；思路二以形解题，以形辅数，优化计算 ；思路三仿射变换：实质也就是坐标伸缩变换，其更多是在高等几何中出现的，在高中数学教材中是以例题和坐标变换基本概念形式出现.通过人教A版数学《选修2-1》“椭圆的定义与标方程”例2知道圆经过伸缩变换后可以成为椭圆.教材《选修4-4》坐标变换基本概念：设P(x,y)是平面直角坐标系系中的任意一点，在坐标变换              

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.仿射变换高中阶段解决椭圆相关问题时，主要涉及三点性质：

①  保持共线三点的单比不变（特别地，保持线段的中点不变）；

‚直线的斜率与变换后的的斜率比值为λ/μ；

ƒ保持两封闭图形面积的比不变，即变换前与变换后面积比值为1:λμ ^[1].

通过仿射变换实现化椭为圆，将复杂问题转化为熟悉的圆的问题，利用圆的性质大大简化了计算.其对椭圆中最值、角度、定值、证明等问题，起到优化计算的效果.在近几年的高考中也是屡次出现.

高考题型展示

    图在解析几何的解题过程中是无声的语言，图也是思维的起点，“形”可直观地表现“数”，将题目中的隐含变清晰，找到数学中的基本进行转化，进而提高学生对数学问题的核心认知.教师应该多挖掘教材背后所蕴含的丰富知识，能从高等数学的角度剖析中学数学问题，看得远，站得高，更有利于理解中学数学问题的来龙去脉，帮助学有余力的学生看清数学问题的本质，有效发展学生的数学核心素养.

参考文献

符强如.例谈伸缩变换在椭圆问题中的应用[J].高中数学教与学，2020（3）7-8.

作者简介

符强如，新疆伊犁人，（1989-）乌鲁木齐市实验学校高中数学一级教师，中共党员，硕士研究生，曾获县级“师德标兵”称号，乌鲁木齐市首批红山教育领航人-骨干教师，乌鲁木齐市高中数学名师工作室成员，杜伟红山教育高中数学名师工作成员，，2020新师大“区培计划”数学送教专家。曾在自治区优质课比赛、乌鲁木齐市优质课比赛、乌鲁木齐市说题比赛、乌鲁木齐市论文比赛、乌市微课比赛、乌鲁木齐市教育规划课题获一等奖，参编教辅两次，在《数学教学研究》《高中数学教与学》《中学生数学》《中学数学教学》《中学数学研究》等期刊杂志发表论文20篇。

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