​邹生书——向量试题红遍大江南北 八种解法尽显策略智慧

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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向量试题红遍大江南北

八种解法尽显策略智慧

湖北省阳新县高级中学    邹生书  

1.考题再现

这是2011年江苏省泰州市高三第一次模拟考试第14题，是填空题的最后一道题，是客观题中的压轴题，本题综合性强有一定难度。笔者经研究发现该试题条件可放宽为任意三角形，改进后问题如下。

2.改编新题

这是一道以三角形及其外接圆为几何背景，以含有三角函数的向量等式为载体的数学问题，要求的是等式中的参数m，提示要求用角A表示，这意味着m可用角A的三角函数来表示，这一提示信息对问题解决很重要，这样我们解题就有了目标,努力就有了方向。

3.解法探究

思路一：归纳法——合情推理

波利亚在《怎样解题》一书中谈到拟定计划时写道：你若不能解这道题，那么试着去解决一个更容易着手的问题、一个更特殊的问题、一个类似的问题，先考虑问题的简单情形，从最容易解决的情形入手，然后再推广到一般情形。据此我们可先求出当三角形为某个特殊三角形时m的值，然后观察m的值与角A的三角函数间的关系概括归纳出m的表达式。由于已知向量等式涉及到三角函数和向量，为了便于三角运算我们取内角为特殊角较好，为了便于向量运算我们取等腰三角形较好，据此我们取特殊角的等腰三角形，下面四种取法效果较好解法如下。

点评：上述解法将数学问题从一般情形退到特殊情形，然后通过计算、观察和分析归纳猜想一般情形下的结论，从个别到一般用的是合情推理。由于特殊情形选取的都是内角特殊的等腰三角形，这使得已知的向量等式转化为只含有向量AO的向量等式，从而求出的值进而得出猜想，小题巧作过程简单解法理想。

思路二：直接求解——演绎推理

    特殊化方法可将已知的向量等式转化为只含有向量AO的向量等式来解决，直接求解很难实现这一点，我们可考虑将向量等式转化为数量等式来处理。向量的数量积和向量的模都是数量，因此我们可以用向量数量积或向量求模来实现这一转化。本题若用求模的方法转化需要两边平方运算量较大，因此我们不妨放弃这种解法。用向量数量积运算这需要将已知等式两边点乘某一向量，那么点乘哪个向量较好呢？

  下面我们将所给向量等式两边平方来看一下需要哪些知识？难度怎样？

（以上解法根据安徽芜湖韦斌老师在高中数学解题交流群的帖子整理而成）

  下面补证：

  解法8：由奔驰定理得

（以上解法根据天津高达溟老师在高中数学解题交流群的帖子整理而成）

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