邹生书——​高考和模拟考中的斐波那契数列问题解析

请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。

---

公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

---

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。

高考和模拟考中的斐波那契

数列问题解析

湖北省阳新县高级中学    邹生书

斐波那契，公元13世纪意大利数学家，他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？

斐波那契在研究时，发现有这样一个数列的数学模型：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，亦即数列{a_n}满足： a₁=1,a₂=1,且a_n+2=a_n+a_n+1 .这个数列就是著名的“斐波那契数列”，而这个数列中的每一项称为“斐波那契数”.

事实上，斐波那契数列  的通项公式为，其神奇之处在于通项公式中含有无理数，但它的每一项都是正整数，并且斐波那契数列有许多有趣性质. 

  一、斐波那契数列通项公式的证明

二、斐波那契数列常见15个性质

（湖南永州   唐 佳  提供）

三、高考和模拟考试中的斐波那契数列问题

例1：意大利著名数学家斐波那契（1175年—1250年）经过长期时间研究兔子繁殖的数量发现，其数值满足某种规律.他将这些数据罗列出来，写成数列形式：1,1,2,3,5,8,1，….通过探索和不懈的努力，斐波那契得到了其通项公式为.同进发现这一数列的个位数是以60为周期变化的，故此数列称为斐波那契数列。今天，我们借助意大利著名数学家斐波那契对人类的此项贡献，求解的值的个位数为＿＿＿

上述解法由浙江省平阳中学洪一平老师提供，下面编者再给出一个简解。

另解：根据题设提供的结论：“斐波那契数列的个位数是以60为周期变化的”，

【解析】河南师大附中    关仲卿  提供

  依据数列递推公式得

例3(2020·江淮十校联考)

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，则(a₁a₃－a)(a₂a₄－a)(a₃a₅－a)…(a_{2 019}a_{2 021}－a)等于(　　)

A．1     B．2 020      C．－1      D．－2 020

解析 从特殊到一般 归纳推理

由题意得a₁a₃－a＝1，a₂a₄－a＝－1，a₃a₅－a＝1，…，

∴当n为奇数时，a_na_n＋2－a＝1；

当n为偶数时，a_na_n＋2－a＝－1，

∴(a₁a₃－a)(a₂a₄－a)(a₃a₅－a)…(a_{2 019}a_{2 021}－a)＝－1.

例 4（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测第12题)

斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂维多•斐波那契以兔子繁殖为例面引入，故又称为“兔子”数列，其通项公式为，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三个数起，每项等于前相邻两项之和，即a_n+2=a_n+1+a_n，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（   ），

A.S₁₀=11a₇              B. a₂₀₂₁=2 a₂₀₁₉+a₂₀₁₈ 

C. S₂₀₂₁= S₂₀₂₀₊ S₂₀₁₉      D.S₂₀₁₉= a₂₀₂₀-1

解析1：逻辑推理

对于选项A.

S₁₀=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143=11a_7，

故A正确。

对于选项B.

a₂₀₂₁=a₂₀₂₀+a₂₀₁₉=(a₂₀₁₉ +a₂₀₁₈)+a₂₀₁₉

=2a₂₀₁₉+a_2018，

故B正确。

对于选项C.用错位相减法

S₂₀₂₁-S₂₀₂₀=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+(a₄-a₃)_+…+(a₂₀₂₁-a₂₀₂₀)

=1+a₁₊a₂₊ a_3+…+a_2019=1+S_2019,

所以S₂₀₂₁=S₂₀₂₀+S₂₀₁₉+1，故C错误。

对于选项D。用裂项相消法

S₂₀₁₉= a₁₊ a₂₊ a_3+….+ a₂₀₁₉₊ a₂₀₂₀

=(a₃-a₂)+(a₄-a₃)+(a₅-a₄)_+…+(a₂₀₂₁-a₂₀₂₀)

=a₂₀₂₁-1，

所以S₂₀₁₉= a₂₀₂₁-1,故选项D错误。

解法2：特殊化与一般化相结合，合情推理与逻辑推理相交汇 

对于选项B,我们考察一般情形：

a_2n+3=2a_2n+1 +a_2n是否正确.

当n=1时,左边=a₅₌5,右边=2 a₃ +a₂ =5,等式成立;

当n=2时,左边=a₇₌13,右边=2 a₅ +a₄ =13,等式成立;

当n=3时,左边=a₉₌34,右边=2 a₇ +a₆=34,等式成立;

由此，猜想正确，从而选项B正确。

对于选项C,我们来看一般情形S_n, S_n+1,S_n+2之间是否存在某种相等关系,

考察S_n +S_n+1­-S_n+2的结果.

S₁+S_2­-S₃=1+2-4=-1；

S₂+S_3­-S₄=2+4-7=-1；

S₃+S_4­-S₅=4+7-12=-1；

由此猜想：S_n+S_n+1-S_n+2=-1,

于是有S_n+2=S_n+S_n+1 +1，

从而S₂₀₂₁=S₂₀₂₀+S₂₀₁₉+1，

故C错误。

对于选项D，我们来看一般情形S_n与a_n+2之间是否

存在某种等量关系，考察S_n-a_n+2的结果.

S₁-a₃=1-2=-1,S₂-a₄=2-3=-1,

S₃-a₅=4-5=-1,S₄-a₆=7-8=-1,

由此猜想S₂₀₁₉= a₂₀₂₁-1,故选项D错误。

例 5（多选题）(九师联盟2020-2021学年高三新高考11月质量检测巩固卷第12题)

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,….其中从第三个数起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为“斐波那契数列”，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则下列结论正确的是（   ）

解析：用合情推理中的归纳法,从特殊到特殊发现规律求解。

根据“斐波那契数列”的定义可以写出数列的所有项，

数列{a_n}前面的部分项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

易知a₆=8，S₇=33，所以选项A,B都正确。

对于选项C，我们考察一般情形：

a₁₊a₃₊ a_5+…+a_2n-1=a_2n是否正确。

当n=1时，左边=a₁₌1，右边=a₂=1;

当n=2时，左边=a₁₊a₃=3，右边=a₄=3;

当n=3时，左边a₁₊ a₃₊ a₅=8，右边=a₆=8;

当n=4时，左边a₁₊ a₃₊ a₅₊a₇=21，右边=a₈=8=21;

由此,猜想a₁₊a₃₊ a_5+…+a_2n-1=a_2n正确,

从而选项C正确。

对于选项D，我们考察一般情形：

综上，正确的选项是ABCD.

【评注】四个选项的多选题，如果设置的四个选项都正确，由评分细则知，考生任选1个或2个或3个选项都可以得2分，只有选择了四个选项才能得满分5分，不会出现得0分的情形。这样考生的分数只有2分和5分两个等级，拉不开档次，显得区分度不够，建议不出或少出四个选项都正确的多选题。

下面是2009福建卷的一道高考题。

【例6】5位学生围成一圈依序循环报数，规定：

（1）第1位学生首次报出的数为1，第2位学生首次报出的数也为1，之后每位学生所报出的数都是前2位学生报出的数之和．

（2）若报出的数为3的倍数，则报该数的学生,需拍手一次．

已知学生甲第1个报数，当5位学生依序循环报到第100个数时，学生甲拍手的总次数为           .

【解析】设报到n 个数为a_n,

则a₁=1,a₂=1,a_n+a_n+1=a_n+2 .

这个数列就是著名的斐波那契数列，前面各项依次为：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,

归纳发现a_4m为3的倍数.下面用数学归纳法证明：

（1）当m=1 时，a₄ =3 ，命题成立；

（2）假设当m=k时，a_4k为3的倍数，

则当m=k+1时,

 a_4k+4= a_4k+2+a_4k+3= a_4k+a_4k+1+( a_4k+1 +a_4k+2)

= a_4k+2a_4k+1++a_4k+2= 2a_4k+3a_4k+1也是3的倍数.

由（1)（2）可知,a_4m为3的倍数.

依题意，学生甲报的数为a_5k+1 (0≤k≤19,k∈N*),这些数中是3 的倍数有a_16,a₃₆, a_56,a₇₆, a₉₆,故学生甲拍手的总次数为5.

邹生书数学

2021年第三季度

最受读者欢迎的46篇解题文章

公众号邹生书数学

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。