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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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加权将军饮马问题的多种解法
广东深圳 杨 俊
解析：这类PA+kPB结构的式子,就是所谓的加权的将军饮马问题,之前的解法普遍是以解方程为主流的解法,当其中一个点的坐标一换的时候,很容易对应的方程很难得到比较好的解,所以一般只给学生做情况比较简单的情况。
法一：直接转化求导
法二：用光的折射定律求解
由于法一需要使用求导的知识,故一般的初中生不容易掌握,故初中生可以采用这个方法来求解此类问题。此题等价于一束光从点A(0,1)出发,经过x轴折射后经过点B’(3,-2),且两种介质的折射率之比为1;2由斯涅尔定律：
点评：两种方法看似不同,但其本质是一致的,都是通过解方程来得到点P的坐标,但如果将点B的坐标换成(3,3),转化以后的方程就不是很好解了,经过不断的尝试,终于找到了这类题最简洁高效的解法。
法三：初等几何解法
法四：复数+旋转
这里,有细心的人提出一个致命的问题：如果把点B(3,2)的坐标换成(3,1),为什么用这种方法计算出来的结果,和事实不符呢？
经过深入的计算和思考,发现,由于这里的数据计算出的来最小值的位置是P(2,0),恰有PA⊥PB,所以这里旋转90度的做法是成立,而且所有直线y=2x-4上的点都是成立,但不在这条直线y=2x-4上的点,这个做法就不成立了。类似的,还所有A(0,1),B(4,3)和k=3的组合.也是可以这样做的。
综合可得：加权的将军饮马问题,只有求导和光的折射定律是通法,其他的方法都只能是在特定的数据组合下才能成立,在一般情况下，并没有可以快速解决的通法。
下附：对于这个问题本公众号一热心读者通过后台发来了两个解答，其中一个解答用到了四边形的托勒密定理，另一个解法用到了柯西不等式，解法巧妙。编者要问：托勒密定理解法中点C的坐标是怎么想到的？柯西不等式中的系数又是如何得到的？
杨俊老师往期发表文章链接：
55.杨 俊——对一道数学说课竞赛题的解析
54.杨 俊——琴生不等式再求三角形内角余弦最大值
53.杨 俊：一道双参数恒成立求最值的多种解法
52.杨 俊——简解一道求最小值的压轴小题
51.杨 俊：一道初中求角题的两种解法
50.杨 俊——临界位置和持续思考
49.杨 俊——加权将军饮马问题的终极答案
48.杨 俊——2021年朝阳区高一期末考试16题速解
47.杨 俊：一道经典轨迹问题的变式探究
46.杨 俊：一道函数证明题的新思路
45.杨 俊：一道三角函数问题的求解
44.杨 俊——深圳实验中学课后两道习题的深入研究
43.杨 俊——由一个问题引发的思考和研究
42.杨 俊——三个层次解一道向量题
41.杨 俊等——希望杯高一年级最值问题的几个解法
杨 俊：一类不等式的研究和推广
杨 俊：一道不等式的深入研究
40.杨 俊——比较大小之精细比较
39.杨 俊——广东一模压轴题的深入研究
38.杨 俊——曲线的切线和曲线的交点问题的探究
37.杨 俊：一文帮你弄懂定角定弦模型
36.杨 俊——对勾函数的前世今生
35.杨 俊——八省联考第7题直线方程的优美解法
34.杨 俊：一道数列递减时参数取值范围问题
33.杨 俊——双函数法解双零点比值的最值问题
32.杨 俊：一道双参数不等式恒成立问题的深入剖析
31.杨 俊——简解一道递增数列求首项取值范围试题
30.杨 俊——对一道三角形周长最小值问题的深入研讨
29.杨 俊：一道最值问题的解法拓展与推广
28.杨 俊——首届中学生数学能力发展竞赛第6题的新解法
27.杨 俊——同构和反函数法解一道不等式恒成立问题
26.杨 俊——用权方和不等式解答两道模考试题
25.杨俊，魏拴文——三角形面积问题的两个初中解法
24.翟国华、杨俊等——两道方程题的巧解
23.洪一平、杨俊等——三线段长度最大值的最小值试题解法研讨
22.杨 俊：一道双参数恒成立求最值的解法研讨（ 内附：杨俊老师发文链接）
21.杨 俊——两种方法解一道参数恒成立问题
20.杨 俊、高达溟——运用“同构”解答两道抽象函数压轴题
19.杨 俊：一道恒成立问题的简化解法
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邹生书数学
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