杨俊：一类有限定条件下的两点之间距离最短问题

一类有限定条件下的两点之间

距离最短问题

广东深圳    杨俊

   曲线上两个动点之间距离最值问题,是一类比较麻烦的问题,如果没有一些限制条件,求解会变的十分的困难,这里我们介绍一类有限定条件下的两点之间距离最值问题,先来一个初中生几乎都做过的模型.

这个方法一般也叫做铅垂法,带过初三的老师应该都是知道的.注意到当点Q的横坐标为3/2时,该处的切线的斜率恰好为里面的巧妙之处,一会再揭晓,各位读者不妨自己先思考一下.

也就是说,将函数g(x)=lnx向左移动大约2.33个单位长度后会和函数f(x)=e^x相切，记住这句话,后面我们会从这里引出一个更简洁的解法和结论出来。

解析：之前的两题都能很顺利的把两点的坐标求解出来,这里就不能再用之前的老办法来解决了,因为这里的两个零点是很难解出来的,不用害怕,虽然我们没办法直接解出这两个零点来,但依然能够有办法计算出结果来。

函数f(t)在t>0 时单调递增证明如下：

这里巧妙之处在于虽然无法解出两个零点,但可以用含有a的式子把x₂-x₁给表示出来，利用两个函数的单调性来确定x₂-x₁的最小值的位置,是值得好好学习的方法。

有人会说：老师,你这个解法太精妙了,实在是一下子想不到,那有没有其他简单一点的方法呢？有的。

通过法二,细心的读者应该可以发现了,这类不管是竖直方向还是水平方向的两点距离最值问题,都对应于两点处横（纵）坐标相同且对应的导数值相同的这个核心要点,如果你掌握了这个方法,就能大幅度的减少运算量。

最后，我们利用之前的结论来快速证明一个习题。

例4：

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