曾蓉——轨迹法突破一类解三角形面积最值问题之二 原来也有“圆”

轨迹法突破一类解三角形面积最值问题之二

原来也有“圆”

江西省新建二中    曾蓉

【引言】通过上一节微课程的学习，我们了解了若背景条件中出现了两个定点、一个定比值，则要构造阿波罗尼斯圆来处理解三角形中面积的最大值问题，值得我们细细体会的是何时才来构造阿氏圆，核心条件即给出三角形中的一边，及存在边的比例关系。若对条件适当更改，又将有哪些应对方法呢？

【分析】我们知道求最值基本思路是转化成函数问题来求解。本题条件比较简洁，给出一边，以及另两边的平方和为定值，不难想到利用余弦定理切入。

【思路一】函数思想——以边为自变量

【思路三】建立直角坐标系——轨迹法

【反思】思路一、二的函数思想属于通性通法，容易想到，但综合性较强，涵盖了余弦定理、面积公式、基本不等式多重知识的综合应用，需要有较强的综合素养。而思路三则利用解析法从几何运动的观点阐述，更被易于学生们接受，体现了轨迹思想的简洁性。

【练习一】

【再度分析】以上解法可看出，将面积转化为某边或某角的函数已不容易实现，而是需要借助基本不等式才得以转化为某边的函数，进而求函数的最大值，相当于用了两次不等关系，思维强度及计算能力要求较高。下面，若从几何的角度将代数问题坐标化，是否会出现惊喜呢？

【思路二】建立直角坐标系——轨迹法

【反思】本题虽没有给出固定边，不妨假设AB边固定，利用轨迹法，得出上点C的轨迹方程，将面积转化为了边c的函数，进而求出最大值得出答案。

【分析】关注条件“4a²=b²+2c²”结合余弦定理，并将面积公式代入目标式，综合考察，由于条件中边的系数各不相同，想用函数思想化为某边式某角的函数处理有较大的困难。此时，轨迹法是否依然可行呢？

【思路】建立直角坐标系——轨迹法           

  通过本节微专题课程，我们学习了解三角形问题中若出现了形如一类“xa²+yb²+cz²=w”的条件除了用余弦定理、面积公式及基本不等式综合考察外，还可以从几何角度，从运动的观点出发，合理的建立直角坐标系，代数形式坐标化，抽象表达形象化，复杂问题简单化，思维强度、计算过程大大简化，收获到了意想不到的

                                                            2020年1月29号

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