彭光焰——​追求简单自然的解法

请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。

---

公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

---

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。

追求简单自然的解法

湖北省广水市一中     彭光焰    

文[1]利用6个例题从6个方面谈了如何培养学生的求简意识，文[2]谈了从问题结构特征来选择解题策略，读后颇受启发，同时又感觉到有话要说.我们在平时的数学教学中，应坚持通性通法，反对过份强调技巧，而文[1]中的4个例题的解法不是通法，我们很难想到，这与文[1]所倡导的培养学生的求简意识相矛盾.我把文[1]中的例1、例3、例4、例5、例6及文[2]中的例2作为练习题在我校高三实验班中进行试验，结果大多数同学能正确解答这些问题，但没有一个同学选择文[1]所介绍的方法.

分析  这是一道典型条件不等式证明问题，已知条件等式和要证的不等式结构对称.我们只需将已知条件等式进行简单变形，然后构造向量或直接用柯西不等式即可.

文[1]的做法有点弄巧成掘.我们在解题过程中所做的一切是有助于问题的解决.文[1]构造立体图形，反而增加了解题的难度，故不可取.

证法一  构造向量 

分析 此题按一般思路 应把此双连不等式转化为不等式组来求解，但较繁锁.文[1]运用定比分点公式来解，仍显得不够简洁，其实此题只需利用a<f(x)<b等价于（f(x)-a）(f(x)-b)<0(b>a)这一简单结论就可以解决，这一简单结论由一元二次不等式(x-a)(x-b)<0(b>a)的解集得到的.

分析文[1]通过构造对偶式来证明不等式，这种证明不等式的方法技巧太强，学生不易接受.其实此道题只用常规方法就可以解决，由于不等式等号成立的条件是a=b=c，故我们可以直接利用m+n≥2√mn(m>0,n>0)，而用综合法来解决，还可以构造向量或用柯西不等式来解决.

证法一  综合法

证法二  向量法

分析  文[2]通过三角代换把求无理函数最值问题转化为求三角最值问题，文[2]还通过换元把无理函数最值问题转化为解析几何求最值问题，体现了数形结合思想.但文[2]没有介绍用导数求无理函数最值问题，其实这道题利用导数来解决非常简洁，且思路自然，学生易接受.利用导数求函数最值是导数的应用功能之一.

文[1]所倡导的培养学生求简意识与文[1]对例题处理方法有些不和谐.解题的特技只能用在一题多解中或用来提升我们教师自己或在课外活动小组中，而不宜用在一般课堂教学中.在一般课堂教学中，我们应尊重教材、注重通法，面向全体学生.在现在的数学教学中，要充分发挥新增内容的作用，如向量和导数在证明不等式或求函数值域中的作用，利用向量或导数就是通法，我们不要把新增内容排斥在解题策略之外，而用原来的知识来巧求巧证，一个巧的解法是我们数学工作者长期思考和研究的结果，学生不可能花大量时间来寻找巧妙的解法.总之，我们的教学要符合高中数学课程标准，要与时俱进.

参考文献

[1]黄加卫.培养求简意识的一种“酶”——构造思想方法[J].中学数学，2007（1）.

[2]刘志伟.从问题特征看解题策略[J].中学数学，2007（1）.

彭光焰老师往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

投稿邮箱：[e-mail]；

商务联系：13297228197。