张成凯——圆锥曲线四点共圆问题命题背景研究——由2021年新高考1卷21题所想

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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圆锥曲线四点共圆问题命题背景研究

——由2021年新高考1卷21题所想

济南历城二中      张成凯

在高中知识的范畴内，四点共圆问题很少有纯几何的题目，但是在高考圆锥曲线问题中我们经常会遇到四点共圆问题，我们有必要对这类问题加以研究，总结规律，以揭示其命题背景.

    先以2021年新高考1卷21题为例。

【点评】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

背景一：初中平面几何 

基于圆幂定理来证明四个点共圆或者推导四点共圆问题的充要条件。

圆幂定理：如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD.

那么证明四点共圆问题时，我们可以先用四个点构建一个四边形并用代数式表示出两条对角线的方程之后和圆锥曲线联立。求得PA·PB和PC·PD的值，证明它们相等进而得证四点共圆。可推导四点共圆充要条件为：

圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线倾斜角互补。

背景二：高中解析几何  

的形式,这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆，一个点,无轨迹,而题中的四个交点在曲线②上,所以方程②表示圆.这就证得了四个交点共圆.

下面利用这个定理来解决圆锥曲线中四点共圆问题.

例1【2014年全国大纲卷】

【点评】根据计算结果，可以验证符合定理，但不宜直接使用.

例2【2011全国卷Ⅱ】

【点评】根据定理，可知本题命题背景，但不宜直接使用.

例3【(2005年湖北卷】

【点评】根据定理，可知本题命题背景，但不宜直接使用.

四点共圆问题在近20年的高考中经常露面，圆在解析几何中占有重要地位，命题人经常在圆和其他圆锥曲线交汇处设计问题，因此我们要高度重视，进一步研究.

【作者简介】张成凯，高级教师，济南市高中数学中心组成员，济南教师队伍建设专家人选，济南市优秀班主任、济南市历城区高中数学学科带头人、教学能手、优秀教师，济南市历城二中学科教学专家、领军教师、备课组长、学校督学，高考阅卷题组长，济南大学硕士研究生兼职导师。

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