张景中：归纳法、演绎法和你所不知道的例证法

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作者 | 张景中

来源 | 《数学家的眼光》

用手扔一个石子，它要掉下来。再扔一个玻璃球，它也要掉下来。再扔一个苹果，它还是要掉下来。我们会想到：不管扔个什么东西，它都是要掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，认为是由于地球有引力。但是，我们并没有把每件东西都扔上去试一试。试了若干次，就认为可以相信这是普遍规律。这种推理方法，叫归纳推理。在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究中，用归纳推理来验证一条定律、一条假说是常有的事。理论对不对，用实验来验证。

数学研究似乎不是这样。你在纸上画一个三角形，用量角器量量它的三个角的大小，加起来差不多是180。。这样画上百个三角形来试验，发现每个三角形内角和都接近180。而且量得越准，越接近180。你能不能宣布，我用实验证明了一条几何定理“三角形内角和是180。”呢？

老师早就告诉你了，这不行。要证明一条几何定理，要从公理、定义和前面的定理出发，一步一步地按逻辑推理规则推出来才算数。用例子验证是不合法的。

这表明，数学要的是演绎推理。归纳推理只能作为提出猜想的基础，不能作为证明的依据。

归纳法与演绎法，是人类认识世界的两大工具。都是认识世界的工具，又何必这样水火不相容呢？

可是有些数学家，眼光偏偏与众不同。我国著名数学家洪加威，在1985年发表的两篇论文中，提出了新颖的见解。他用演绎推理的方法严格地证明了这么一个使人吃惊的事：对于相当大的一类初等几何命题，只要用一个例子验证一下，便能断定它成立不成立！

这叫做几何定理证明的“例证法”。

根据“例证法”，要证明“三角形内角和等于180º”，画出某个“一般的”三角形仔细量量它的三角，确实是180º，我们就说这个命题成立。不过，要量得足够准确！

也许你不相信，也许你以为这里面包含了过于高深的数学理论。

恰恰相反，例证法的基本原理很平常，我一说你就能明白。

在你面前写一个等式:

 (x+1)(x-1) =x²-1  （1）

你知道，这是个恒等式。因为用一下分配律：

(x+1)(x-1)=x(x-1)+(x-1)

=x²-x+x-1=x²-1

就给出了证明。

如果有人告诉你：取x=0代入(1)，两边都得-1；取x=1，两边都得0；取x=2，两边都得3。这就表明(1)是恒等式。你怎么想呢？你可能不同意。恒等式嘛，必须是所有的x代进去都能使两边相等。才代了3个，凭什么断定它是恒等式呢？

有趣的是，这样取3个值代入后，确实证明了(1)是恒等式。道理很简单。如果(1)不是恒等式，它就是一个不超过二次的方程，这种方程至多有两个根；现在竟有3个“根”了，那它就不是二次方程或一次方程，所以一定是恒等式。

按照这个道理，要判断一个最高次数为3的等式是不是恒等式，只要取未知数的4个不同的值代入验算。4次等式用5个值，5次等式用6个值，n次等式用(n+1)个值代入。这是因为n次方程至多有n个根，如果居然有(n+1)个值代入都能使它两端相等，那它一定是恒等式。例如，要证明

X³+1=(x+1)(x²-x+1)

是恒等式，只要取x=0,1,2,3 代入看看。一看，都对，这就证明了它是恒等式。这种方法叫做用举例的方法证明恒等式。因为证明一个恒等式要举几个例子，所以叫多点例证法。

如果又有人说，要证明(x+1)(x-1)=x²-1是个恒等式，不一定取x的3个值验算，只要把x=10 代入看看。这时两边都是99，所以它一定是恒等式。这么说对不对呢？

也许你会抗议。刚才明明说过，二次等式要用3个值代入验证，现在仅仅用x=10试了一下，为什么说就行了呢？

用x=10试一下就行，有它的道理。

用反证法。如果(1)不是恒等式，把它展开、移项、合并，得到一个方程

ax²+bx+c=0   (2)

从(1) 式不难看出，a、b、c都是整数，而且绝对值不会比5大，取x=10代入，  应当有：10²a+10b+c=0 移项，取绝对值得

  |100a|=|10b+c|≤10|b|+|c|≤55   (3)

于是a必须为0，因而

  |10b|= |c|≤5  (4)

这就推出b必须为0。于是c也必须为0 了，这表明(1)是恒等式。

由此可见，要验证一个带有未知数的等式是不是一个恒等式，只要举一个例子。不过，这个例子里的未知数要足够大。

有时，等式会不止出现一个未知数。例如：

(x³+y²)(x³-y²)=x⁶-y⁴  (5)

这个等式里有x、y两个未知数，关于x的最高次数是6次，关于y的最高次数是4次。验证时可以取x的7个值，如x=0、1、2、3、4、5、6，y的5个值，如y=0、1、2、3、4，交叉组合出一共。(6+1)×(4+1)=35组(x,y)代入验算，如果都对了，就证明(5)是恒等式。

也可以用一组(x,y)代入验算，但是x和y的取值都要很大，而且一个要比另一个大得多。具体到等式(5)，可以取y=10,x=100000。

等式里有更多的未知数的时候，仍然可以用例证法来判别它是不是恒等式。如果它含m个未知数，次数分别是k₁,k₂,…,k_m，那么就要用

(k₁+1)(k₂+1)…(k_m+1)

组未知数的值代入检验。

如果这个等式里系数都是整数，而且展开之后可以预估每项系数绝对值都不超过N-1，就可以用一组未知数的值来检验。这组未知数可以取以下形式:

这是一组大得可怕的数。

总之，含多个未知数的代数等式是不是恒等式的问题，也可以用例证法解决。用许多组数值不大的例子可以，用一组很大数值的例子也可以。

用解析几何的原理，可以把几何命题成不成立的问题转化为检验代数式是不是恒等式的问题。用一组未知数检验，在几何里相当于具体画一个图。这样，举一个例子就可以检验几何命题是不是成立，也就不足为奇了。

洪加威提出的例证法，是举一个例子来检验，例子虽只有一个，但数值很大，用电子计算机算起来都很困难。

另外，我国有些数学家还提出了多点例证法，即举多组例子，但每个例子计算起来都很快，这样就使例证法从理论变为现实。数学里有不少问题，可以用“举例”的方法解决。可以说，在归纳推理和演绎推理之间，已经没有一条不可逾越的鸿沟了。

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